Raisonnement et vocabulaire ensembliste

On ne vous demande pas de faire de la logique. On vous demande de parler juste. Trois compétences seulement sont réellement évaluées :

1. Écrire une proposition avec les bons quantificateurs, dans le bon ordre. C'est ce qui distingue « $f$ est bornée » de « $f$ est majorée », ou la convergence simple de la convergence uniforme que vous verrez en deuxième année. L'ordre des quantificateurs n'est pas une question de style : $\forall x\,\exists y$ et $\exists y\,\forall x$ ne disent pas la même chose.

2. Nier proprement. C'est mécanique, et c'est le geste le plus rentable de l'année : la moitié des raisonnements par l'absurde et par contraposition commencent par une négation. La règle tient en une ligne : on échange les quantificateurs, on nie la conclusion.

3. Choisir un mode de raisonnement et l'annoncer. Un correcteur doit savoir, dès la première ligne, ce que vous faites : « Raisonnons par l'absurde », « Procédons par analyse-synthèse », « Montrons la contraposée ». Ce n'est pas de la décoration, c'est ce qui rend la copie lisible.

Disjonction des cas. Quand la variable a un comportement différent selon une condition : signe, parité, position par rapport à une valeur charnière. Réflexe typique : $|x|$, la partie entière, une valeur absolue dans une inégalité.

Contraposition. Quand l'hypothèse de départ est pauvre et la conclusion riche, et que la négation de la conclusion, elle, vous donne un objet à manipuler. Test rapide : si l'énoncé contient « n'est pas », « ne divise pas », « est irrationnel », essayez la contraposée.

Absurde. Quand vous voulez démontrer une non-existence ou une unicité. On suppose la négation, on aboutit à une contradiction, on conclut. Attention : c'est souvent une contraposée déguisée, et la contraposée est plus élégante — préférez-la quand elle marche.

Analyse-synthèse. Le mode le plus sous-utilisé et le plus payant. On veut montrer qu'il existe un unique objet vérifiant une propriété. Analyse : on suppose l'objet trouvé et on en déduit sa forme forcée — cela donne l'unicité et un candidat. Synthèse : on vérifie que le candidat convient — cela donne l'existence. Le programme note que c'est l'occasion de comprendre la différence entre condition nécessaire (l'analyse) et condition suffisante (la synthèse).

Exemple canonique à connaître : décomposer une fonction $f:\R\to\R$ en somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. Analyse : si $f=p+i$ avec $p$ paire et $i$ impaire, alors en écrivant aussi $f(-x)=p(x)-i(x)$ on trouve $p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$ et $i(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$ ; c'est forcé, donc unique. Synthèse : ces deux fonctions conviennent, on vérifie.

Rien de neuf par rapport au lycée, sauf deux objets qui posent problème à tout le monde en septembre.

La différence entre $\in$ et $\subset$. $x\in A$ dit que $x$ est un élément de $A$ ; $B\subset A$ dit que $B$ est un ensemble dont tous les éléments sont dans $A$. Ce sont deux relations entre objets de nature différente, et elles ne se composent pas : si $x\in A$ et $A\subset B$ alors $x\in B$, mais si $x\in A$ et $A\in B$, on ne peut rien dire.

$\mathcal{P}(E)$, l'ensemble des parties. Ses éléments sont des ensembles. Pour $E=\{1,2\}$ : $\mathcal{P}(E)=\big\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\big\}$, qui a 4 éléments. Notez que $\{1\}\in\mathcal{P}(E)$ mais $\{1\}\subset E$ : le même objet, avec deux symboles différents selon qu'on le regarde comme élément de $\mathcal{P}(E)$ ou comme partie de $E$. C'est ce basculement qui déroute, et c'est aussi lui qu'on teste en colle.

Partition. Une partition de $E$ est une famille de parties de $E$, toutes non vides, deux à deux disjointes, dont la réunion est $E$. Vous la reverrez partout : classes d'équivalence, systèmes complets d'événements en probabilités, sommation par paquets au chapitre 19.

C'est ici que se joue l'essentiel du chapitre, parce que ces notions reviendront littéralement partout : injectivité d'une application linéaire au chapitre 12, bijectivité pour les dénombrements au chapitre 16, image réciproque pour définir les événements en probabilités au chapitre 17.

Image directe et image réciproque ne sont pas symétriques. $f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}$ est un sous-ensemble de l'ensemble d'arrivée. $f^{-1}(B)=\{x\in E\mid f(x)\in B\}$ est un sous-ensemble de l'ensemble de départ — et cette notation n'exige pas que $f$ soit bijective. C'est la source de confusion numéro un du chapitre, et le programme la signale lui-même.

L'image réciproque se comporte magnifiquement bien : elle commute avec toutes les opérations ensemblistes. L'image directe se comporte mal : elle ne commute qu'avec la réunion.

Relation d'équivalence. Réflexive, symétrique, transitive. L'idée : on décide que certains objets « comptent pour le même ». Les classes forment alors une partition — mais on s'arrête là, l'ensemble quotient est hors programme. La congruence $a\equiv b\ [n]$ est l'exemple à connaître, il resservira intégralement au chapitre 7.

Relation d'ordre. Réflexive, antisymétrique, transitive. Total signifie que deux éléments quelconques sont toujours comparables. L'exemple à avoir en tête d'un ordre partiel : la divisibilité sur $\N$ (3 et 5 ne sont pas comparables), ou l'inclusion sur $\mathcal{P}(E)$. Cette distinction resservira au chapitre 7 quand on montrera que le PGCD est le plus grand diviseur commun à la fois pour l'ordre naturel et pour l'ordre de divisibilité.