Calcul matriciel et systèmes linéaires

Le produit matriciel est le seul point réellement nouveau, et il est contre-intuitif la première semaine. Le coefficient en position $(i,j)$ du produit s'obtient en faisant glisser la ligne $i$ de $A$ sur la colonne $j$ de $B$ : on multiplie terme à terme et on somme. « Ligne par colonne » — le mnémotechnique tient en trois mots, mais la coordination des indices demande de la pratique.

La condition de compatibilité découle de cette mécanique : pour glisser une ligne de $A$ sur une colonne de $B$, il faut qu'elles aient la même longueur. D'où la règle des formats : $\mathcal{M}_{n,p}\times\mathcal{M}_{p,q}\to\mathcal{M}_{n,q}$. Écrire les formats sous les matrices avant de multiplier évite la moitié des erreurs.

Les matrices élémentaires $E_{i,j}$ — des zéros partout sauf un $1$ en position $(i,j)$ — paraissent anecdotiques. Elles sont en réalité l'outil de démonstration privilégié du chapitre : toute matrice s'écrit comme combinaison des $E_{i,j}$, et la relation $E_{i,j}E_{k,l}=\delta_{j,k}E_{i,l}$ permet de démontrer par le calcul des énoncés qui semblent abstraits — par exemple caractériser les matrices qui commutent avec toutes les autres.

La transposée échange lignes et colonnes. Sa seule subtilité est le renversement dans le produit : $(AB)^{\mathsf{T}}=B^{\mathsf{T}}A^{\mathsf{T}}$. C'est le troisième renversement de l'année, après celui des bijections réciproques du chapitre 1 et celui de l'inverse d'un produit au chapitre 8 — la même idée à chaque fois.

Vous connaissez les trois opérations depuis le chapitre 2. Ce qui est neuf, c'est qu'elles s'écrivent : chaque opération élémentaire sur les lignes de $A$ revient à remplacer $A$ par $PA$, où $P$ est une matrice inversible explicite.

Cette traduction a une conséquence théorique importante, et c'est elle qu'il faut retenir : puisque $P$ est inversible, elle ne change ni le noyau, ni le rang, ni l'ensemble des solutions du système associé. C'est la justification du pivot — et elle sera reprise telle quelle au chapitre 13, où les opérations élémentaires deviendront un outil de démonstration.

Le côté de la multiplication encode la nature de l'opération : à gauche pour les lignes, à droite pour les colonnes. La règle se retrouve plutôt qu'elle ne s'apprend — dans $PA$, chaque ligne du résultat est une combinaison des lignes de $A$.

La structure des solutions est la même qu'au chapitre 4, et il faut la reconnaître : une solution particulière plus toutes les solutions du problème homogène. C'était vrai pour les équations différentielles linéaires, pour les racines $n$-ièmes du chapitre 3, ce sera vrai pour les récurrences linéaires. Le chapitre 12 dira pourquoi : l'ensemble des solutions est un sous-espace affine, de direction l'espace des solutions homogènes.

Le pivot conduit à une forme échelonnée, et c'est cette forme qui répond à toutes les questions d'un coup :

• une ligne du type « $0=c$ » avec $c$ non nul : le système est incompatible, il n'y a aucune solution ;
• sinon, chaque pivot détermine une inconnue principale, exprimée en fonction des autres ;
• les colonnes sans pivot correspondent aux inconnues secondaires, qui sont des paramètres libres ;
• le nombre de paramètres est le nombre d'inconnues moins le nombre de pivots — c'est-à-dire, avec le vocabulaire du chapitre 13, moins le rang.

Quand il y a autant d'équations que d'inconnues et autant de pivots, le système a une solution unique : c'est un système de Cramer. Les trois configurations géométriques dessinées au chapitre 2 — un point, une droite, rien — sont exactement ces trois cas.

Ce point est l'illustration principale du chapitre 8. $\mathcal{M}_n(\K)$ est un anneau — donc tout le vocabulaire s'applique — mais un anneau non commutatif et non intègre. C'est l'exemple qu'il faut avoir en tête chaque fois qu'un énoncé d'algèbre générale précise « commutatif » ou « intègre » : sans ces hypothèses, c'est de matrices qu'on parle.

Calculer $A^n$ : trois méthodes, à essayer dans cet ordre. Reconnaître une matrice nilpotente — c'est-à-dire telle qu'une puissance soit nulle — auquel cas la suite des puissances s'arrête. Écrire $A=\lambda I_n+N$ avec $N$ nilpotente et appliquer le binôme, licite parce que $\lambda I_n$ commute avec tout : la somme est alors finie. Ou conjecturer la forme de $A^n$ sur les premières puissances et démontrer par récurrence. La diagonalisation, qui règle le problème en deuxième année, n'est pas encore disponible.

Inverser par le pivot est la méthode générale : on écrit $A$ et $I_n$ côte à côte, on applique les mêmes opérations élémentaires jusqu'à transformer $A$ en $I_n$, et $I_n$ est devenue $A^{-1}$. La justification est immédiate avec le point b : chaque opération multiplie à gauche par une matrice inversible, et à la fin le produit de toutes vaut $A^{-1}$.

Une remarque qui fait gagner du temps : en dimension finie, il suffit de vérifier $AB=I_n$ pour conclure que $A$ et $B$ sont inversibles et inverses l'une de l'autre. Un seul des deux produits suffit — mais ce résultat sera démontré au chapitre 13, avec le théorème du rang.