Nombres réels et suites numériques

La chaîne d'inclusions $\N\subset\Z\subset\mathbb{D}\subset\Q\subset\R$ est connue. Ce qui compte ici est le rôle de $\overline{\R}$ : ajouter deux symboles $\pm\infty$ à $\R$ permet d'écrire « $\lim u_n=+\infty$ » sans distinguer sans cesse convergence et divergence, et de manipuler des bornes supérieures qui n'existent pas dans $\R$.

$\overline{\R}$ n'est pas un corps. On ne peut pas tout y calculer : $(+\infty)+(-\infty)$, $0\times(\pm\infty)$, $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$, $\frac{0}{0}$ n'ont pas de sens. Ce sont les formes indéterminées, et il est exigible de les connaître — non pour les réciter, mais pour reconnaître qu'un théorème d'opérations sur les limites ne s'applique pas et qu'il faut lever l'indétermination autrement.

La partie entière donne les approximations décimales : le décimal $\frac{\lfloor 10^n x\rfloor}{10^n}$ est la valeur approchée de $x$ à $10^{-n}$ près par défaut. C'est aussi l'outil qui démontrera la densité de $\Q$ dans $\R$ au point g.

C'est le point le plus important de tout le premier semestre d'analyse. Prenez le temps.

La distinction maximum / borne supérieure. Un majorant de $A$ est n'importe quel réel au-dessus de tous les éléments de $A$. Le maximum est un majorant qui appartient à $A$ — il n'existe pas toujours. La borne supérieure est le plus petit des majorants — et la propriété admise dit qu'elle existe toujours, dès que $A$ est non vide et majorée.

Exemple à garder en tête : $A=\;]0,1[$ n'a pas de maximum, mais $\sup A=1$. Le sup existe sans être atteint. C'est précisément l'intérêt de la notion.

Pourquoi c'est un axiome, et pourquoi ça distingue $\R$ de $\Q$. Dans $\Q$, la partie $\{x\in\Q\mid x^2<2\}$ est non vide et majorée, mais elle n'a pas de borne supérieure rationnelle : le candidat naturel, $\sqrt2$, n'est pas dans $\Q$. C'est exactement le « trou » que $\R$ vient boucher. Toute la suite de l'analyse — limite monotone, Bolzano-Weierstrass, valeurs intermédiaires, bornes atteintes — repose là-dessus.

La caractérisation séquentielle du sup est ce qui rend la notion utilisable : $M=\sup A$ signifie que $M$ majore $A$ et qu'on peut trouver des éléments de $A$ arbitrairement proches de $M$. Autrement dit, il existe une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $M$. C'est cette formulation qu'on emploie dans neuf démonstrations sur dix.

Du vocabulaire, avec une nuance qui compte : beaucoup de propriétés n'ont besoin d'être vraies qu'à partir d'un certain rang. Une suite qui devient croissante à partir du rang 12 se comporte, pour tout ce qui concerne les limites, comme une suite croissante. Prenez l'habitude d'écrire « à partir d'un certain rang » plutôt que de vous crisper sur les premiers termes.

Une suite est une fonction de $\N$ dans $\R$. Ce n'est pas une remarque décorative : la monotonie s'étudie par le signe de $u_{n+1}-u_n$, ou, si la suite est définie explicitement par $u_n=f(n)$, par les variations de $f$ — ce qui ramène au chapitre 4.

Vous connaissez les limites depuis la terminale ; ce qui est neuf, c'est la définition formelle et le fait qu'on démontre à partir d'elle.

Lisez la définition comme un défi et une réponse : l'adversaire choisit une tolérance $\varepsilon$ aussi petite qu'il veut, et vous devez produire un rang $N$ à partir duquel la suite ne s'écarte plus de $\ell$ de plus de $\varepsilon$. L'ordre des quantificateurs traduit exactement cela : $N$ dépend de $\varepsilon$, jamais l'inverse.

Le théorème d'encadrement — les « gendarmes » — est l'outil le plus utilisé du chapitre. Il transforme un problème de limite en un problème de majoration, ce qui vous ramène au terrain du chapitre 2. Ses deux variantes unilatérales sont tout aussi utiles : si $u_n\geqslant v_n$ et $v_n\to+\infty$, alors $u_n\to+\infty$.

Le piège des inégalités. Le passage à la limite conserve les inégalités larges, jamais les strictes. $\frac1n>0$ pour tout $n$, et pourtant la limite vaut $0$. Une inégalité stricte devient large à la limite, point.

Voici le premier résultat vraiment puissant de l'analyse : on obtient l'existence d'une limite sans la calculer. C'est ce qui permet d'étudier des suites dont on n'a aucune formule explicite — typiquement les suites récurrentes du point i.

La démonstration tient en trois lignes et il faut la connaître : si $(u_n)$ est croissante et majorée, l'ensemble $\{u_n\mid n\in\N\}$ est non vide et majoré, donc admet une borne supérieure $M$. La caractérisation par $\varepsilon$ fournit un rang $N$ avec $u_N>M-\varepsilon$ ; la croissance propage l'inégalité à tous les rangs suivants ; et $M$ majore. Donc $u_n\to M$. C'est exactement l'usage de la borne supérieure décrit au point b.

Les suites adjacentes — l'une croissante, l'autre décroissante, de différence tendant vers $0$ — convergent vers une limite commune, et elle est encadrée par les deux suites à chaque rang. Ce dernier point est ce qui en fait un outil de calcul approché : à chaque étape on connaît un encadrement de la limite, donc une majoration de l'erreur. C'est le principe de la dichotomie, et vous le retrouverez au point f et en informatique.

Une suite extraite, c'est la suite de départ dont on n'a gardé que certains termes, en respectant l'ordre et en en gardant une infinité. Formellement : $\varphi:\N\to\N$ strictement croissante — d'où le petit lemme utile $\varphi(n)\geqslant n$, qui se démontre par récurrence et sert dans presque toutes les preuves du point.

Deux usages, opposés. Pour prouver une divergence, on exhibe deux extraites de limites différentes. Pour prouver une convergence, on utilise le fait que si les extraites de rangs pairs et impairs convergent vers la même limite, la suite entière converge vers cette limite — c'est le seul cas où deux extraites suffisent à conclure, parce qu'elles recouvrent tout $\N$.

Bolzano-Weierstrass est le résultat de compacité de l'année. Il ne dit pas qu'une suite bornée converge — c'est faux, $(-1)^n$ suffit à le montrer — mais qu'on peut toujours en extraire un morceau convergent. La démonstration par dichotomie est belle et il faut savoir la refaire : on coupe l'intervalle contenant la suite en deux, on garde une moitié contenant une infinité de termes, on recommence. Les deux extrémités forment deux suites adjacentes, dont la limite commune est la limite de l'extraite construite.

Notez la mécanique : Bolzano-Weierstrass se démontre par dichotomie, la dichotomie repose sur les suites adjacentes, les suites adjacentes sur la limite monotone, et la limite monotone sur la borne supérieure. Toute l'analyse du semestre est un seul édifice posé sur le point b.

« Dense » veut dire : on ne peut pas s'en débarrasser. Aussi petit que soit l'intervalle où l'on regarde, il contient un rationnel — et aussi un irrationnel. Les deux ensembles sont donc partout emmêlés, alors que l'un est dénombrable et l'autre non.

La caractérisation séquentielle est la forme utile : $D$ est dense dans $\R$ si et seulement si tout réel est limite d'une suite d'éléments de $D$. Elle sert notamment à prolonger une identité de $\Q$ à $\R$ : si deux fonctions continues coïncident sur $\Q$, elles coïncident sur $\R$. Vous ferez cet exercice, sous une forme ou une autre, plusieurs fois dans l'année.

La démonstration de la densité de $\Q$ repose sur la partie entière du point a : entre deux réels distincts $a<b$, on choisit $n$ assez grand pour que $\frac1n<b-a$, et le rationnel $\frac{\lfloor na\rfloor+1}{n}$ tombe dans $]a,b[$. Sachez la refaire, elle tombe en colle.

Tout se transpose, à une exception près : il n'y a plus d'ordre. Donc plus de suites monotones, plus de théorème de la limite monotone, plus de gendarmes sur les suites elles-mêmes. Ce qui survit passe par le module : $u_n\to\ell$ dans $\C$ signifie $|u_n-\ell|\to 0$ dans $\R$, et là on retrouve tout l'arsenal réel.

Bolzano-Weierstrass tient dans $\C$, et sa démonstration est instructive : on applique le théorème réel à la partie réelle pour extraire une première fois, puis à la partie imaginaire de cette extraite pour extraire une seconde fois. L'extraite d'une extraite est une extraite — c'est ce petit fait qui rend l'argument valide, et il resservira en topologie l'an prochain.

Ce point est l'aboutissement du chapitre : on y réinvestit tout ce qui précède sur des cas concrets.

Arithmético-géométriques ($u_{n+1}=au_n+b$, $a\neq1$) : on cherche le point fixe $\omega=\frac{b}{1-a}$, on pose $v_n=u_n-\omega$, et $(v_n)$ est géométrique de raison $a$. Une seule méthode, toujours la même.

Récurrences linéaires d'ordre 2 ($u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n$) : équation caractéristique $r^2=ar+b$, exactement comme au chapitre 4 pour les équations différentielles, et avec les mêmes trois cas. Dans le cas réel à racines complexes conjuguées $\rho e^{\pm i\theta}$, la forme réelle est $u_n=\rho^n\big(\lambda\cos(n\theta)+\mu\sin(n\theta)\big)$. Les deux premiers termes déterminent les deux constantes. C'est le cadre de la suite de Fibonacci et du nombre d'or.

Suites $u_{n+1}=f(u_n)$ : la méthode complète, en quatre temps, à connaître comme une procédure.

1. Trouver un intervalle stable $I$ tel que $f(I)\subset I$ et $u_0\in I$. Une récurrence immédiate montre alors que la suite est bien définie et reste dans $I$. Sans cette étape, tout le reste est en l'air.
2. Étudier le signe de $f(x)-x$ sur $I$ : il donne le sens de variation de la suite, puisque $u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n$. Les zéros sont les points fixes, seuls candidats possibles pour la limite.
3. Conclure à la convergence par le théorème de la limite monotone : monotone et bornée.
4. Identifier la limite en passant à la limite dans $u_{n+1}=f(u_n)$ — ce qui exige la continuité de $f$, admise ici et démontrée à la section 6. La limite est donc un point fixe.

Si $f$ est décroissante, la suite n'est pas monotone : elle oscille. On étudie alors $f\circ f$, qui est croissante, ce qui rend monotones les extraites de rangs pairs et impairs — d'où l'intérêt du point f.