Limites, continuité, dérivabilité, convexité

La définition est la même que pour les suites, à ceci près que le « rang $N$ » devient un « voisinage de $a$ » : au lieu de dire « à partir d'un certain rang », on dit « pour $x$ assez proche de $a$ ». Le squelette logique est identique, et c'est délibéré.

La caractérisation séquentielle est l'outil le plus rentable du point. Elle dit : $f(x)\to\ell$ quand $x\to a$ si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ tendant vers $a$, la suite $f(x_n)$ tend vers $\ell$. Le « pour toute » est ce qui rend l'énoncé puissant dans un sens et commode dans l'autre :

• pour démontrer qu'une limite existe, la caractérisation est pénible — il faudrait traiter toutes les suites ;
• pour démontrer qu'elle n'existe pas, il suffit d'exhiber deux suites tendant vers $a$ dont les images n'ont pas la même limite. C'est ainsi qu'on montre que $\sin\frac1x$ n'a pas de limite en $0$, en prenant $x_n=\frac{1}{2n\pi}$ et $y_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}$.

Limite à droite et à gauche. Une fonction admet une limite en $a$ si et seulement si elle admet la même limite à droite et à gauche — et, quand $f$ est définie en $a$, si cette limite commune vaut $f(a)$. C'est l'outil des fonctions définies par morceaux, et de la partie entière.

La continuité n'est qu'un cas particulier de limite : la limite existe et vaut la valeur en ce point. Toute la difficulté du lycée — « la courbe se trace sans lever le crayon » — disparaît au profit d'un énoncé vérifiable.

Le prolongement par continuité est le geste concret : si $f$ n'est pas définie en $a$ mais admet une limite finie $\ell$ en $a$, on décide de poser $f(a)=\ell$, et la fonction obtenue est continue. C'est ainsi qu'on donne un sens à $x\mapsto\frac{\sin x}{x}$ en $0$, en posant la valeur $1$.

La caractérisation séquentielle de la continuité — « $x_n\to a$ entraîne $f(x_n)\to f(a)$ » — est ce qui permet de passer à la limite dans une relation de récurrence, comme au point i du chapitre 5. C'est aussi elle qui permet de montrer que deux fonctions continues coïncidant sur $\Q$ coïncident sur $\R$, en combinant avec la densité.

Trois énoncés, trois usages nettement distincts. Ne les confondez pas : c'est la distinction la plus contrôlée en colle.

Le théorème des valeurs intermédiaires sert à prouver qu'une équation a une solution. Hypothèse : continuité sur un intervalle. Il ne donne ni la valeur, ni l'unicité — seulement l'existence.

Le théorème des bornes atteintes sert à prouver qu'un maximum existe. Hypothèse : continuité sur un segment, c'est-à-dire un intervalle fermé et borné. Les deux mots comptent : $x\mapsto\frac1x$ sur $]0,1]$ est continue et non bornée ; $x\mapsto x$ sur $[0,+\infty[$ est continue et n'atteint pas de maximum.

Le théorème de la bijection sert à construire une réciproque. Hypothèses : continuité et stricte monotonie sur un intervalle. C'est lui qui légitime rétroactivement Arcsin, Arccos et Arctan du chapitre 4 : on savait les manipuler, on sait maintenant pourquoi elles existent. Et il donne en prime l'unicité, ce que le TVI seul ne donne pas — d'où l'expression courante « TVI version bijection ».

Une conséquence à savoir citer : une fonction continue et injective sur un intervalle est nécessairement strictement monotone. C'est loin d'être évident, et c'est très utile.

Continuité, limites, opérations : tout passe. En revanche, tout ce qui utilise l'ordre tombe — valeurs intermédiaires, bornes atteintes, monotonie, théorème de la bijection. Une fonction continue à valeurs complexes sur un segment est bornée, mais parler de son maximum n'a aucun sens : seul $|f|$, qui est à valeurs réelles, en a un.

Deux points valent le détour.

Le DL à l'ordre 1 est la vraie définition. Dire que $f$ est dérivable en $a$, c'est dire qu'on peut l'approcher par une fonction affine avec une erreur négligeable devant $x-a$. Cette formulation est plus maniable que le taux d'accroissement, et c'est la porte d'entrée de tout le chapitre 11.

Dérivable entraîne continue, jamais l'inverse. La valeur absolue en $0$ est continue et non dérivable : les dérivées à droite et à gauche existent mais diffèrent. Une fonction peut même être continue partout et dérivable nulle part — c'est l'exemple de Weierstrass, hors programme mais bon à connaître pour cesser de croire que la dérivabilité va de soi.

Point critique n'est pas extremum. La dérivée s'annule en tout extremum local intérieur — mais la réciproque est fausse : $x\mapsto x^3$ a une dérivée nulle en $0$ sans y avoir d'extremum. Un point critique est un candidat, pas une conclusion.

Rolle : si $f$ est continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$ et si $f(a)=f(b)$, alors la dérivée s'annule quelque part entre les deux. La démonstration est un bel enchaînement de ce qui précède : $f$ continue sur un segment atteint ses bornes ; si l'extremum est atteint à l'intérieur, la dérivée y est nulle ; sinon $f$ est constante, et n'importe quel point convient.

L'égalité des accroissements finis est Rolle appliqué à $f$ moins sa corde. Géométriquement : il existe un point où la tangente est parallèle à la corde. C'est le théorème qui traduit une information sur $f'$ en information sur $f$, et c'est pour cela qu'il est partout.

L'inégalité des accroissements finis est la version qu'on utilise le plus souvent, parce qu'elle survit aux fonctions à valeurs complexes et parce qu'elle donne directement une majoration. Si $|f'|\leqslant M$ sur $I$, alors $f$ est $M$-lipschitzienne : $|f(x)-f(y)|\leqslant M|x-y|$. Vous vous en servirez au chapitre 15 pour les sommes de Riemann.

Le mot « intervalle » est de nouveau décisif. « $f'=0$ donc $f$ constante » est faux sur $\R^*$ : la fonction valant $0$ sur $\R_-^*$ et $1$ sur $\R_+^*$ a une dérivée nulle partout sans être constante. C'est la même subtilité qu'aux primitives du chapitre 4, et elle a la même origine — l'égalité des accroissements finis a besoin de pouvoir relier deux points en restant dans le domaine.

La stricte monotonie n'exige pas une dérivée strictement positive. $x\mapsto x^3$ est strictement croissante alors que sa dérivée s'annule en $0$. La condition suffisante correcte est : dérivée positive, s'annulant en un nombre fini de points.

Le théorème de la limite de la dérivée est l'outil des raccordements. Si $f$ est continue en $a$, dérivable autour de $a$, et si $f'(x)$ tend vers $\ell$ quand $x\to a$, alors $f$ est dérivable en $a$ avec $f'(a)=\ell$ — et $f$ est donc de classe $\mathcal{C}^1$. Il évite de revenir au taux d'accroissement pour prouver la dérivabilité en un point de recollement, ce qui est le cas typique des fonctions définies par morceaux.

La formule de Leibniz donne la dérivée $n$-ième d'un produit, avec les mêmes coefficients binomiaux que la formule du binôme du chapitre 2. Ce n'est pas une coïncidence : les deux se démontrent par la même récurrence, en utilisant la relation de Pascal.

La définition dit exactement ce que le dessin montre : entre deux points du graphe, la courbe reste au-dessous du segment qui les joint. La formule $f\big(\lambda x+(1-\lambda)y\big)\leqslant\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$ n'en est que la transcription — le membre de gauche est la courbe, celui de droite la corde.

La croissance des pentes est la caractérisation la plus utile pour démontrer, et elle ne suppose aucune dérivabilité : $f$ est convexe si et seulement si, pour tout point $a$ fixé, la fonction pente $x\mapsto\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ est croissante. Beaucoup d'exercices se traitent avec cette seule idée.

L'inégalité de Jensen généralise à $n$ points : l'image d'une moyenne pondérée est inférieure à la moyenne pondérée des images. Appliquée à $-\ln$, qui est convexe, elle donne l'inégalité arithmético-géométrique. C'est une usine à inégalités, et c'est pour cela que le programme la retient.

Trois formulations d'une même idée, à savoir passer de l'une à l'autre :

• la courbe est sous ses cordes — la définition, valable sans dérivabilité ;
• la courbe est au-dessus de ses tangentes — utile pour démontrer une inégalité ;
• $f''\geqslant0$ — utile pour vérifier la convexité en pratique.

La deuxième est la plus rentable en exercice. Pour démontrer $e^x\geqslant1+x$, on n'étudie plus une fonction auxiliaire : $\exp$ est convexe puisque $\exp''=\exp>0$, et $1+x$ est sa tangente en $0$ ; la courbe est au-dessus de sa tangente, c'est fini. De même $\ln(1+x)\leqslant x$ vient de la concavité du logarithme. Les deux inégalités du chapitre 4 se démontrent ici en une ligne chacune.