Polynômes et fractions rationnelles

Le degré est l'outil de raisonnement principal du chapitre. Presque toutes les démonstrations passent par un argument de degré : on suppose une écriture, on compare les degrés des deux membres, on conclut. La convention $\deg 0=-\infty$ n'est pas une coquetterie — elle rend vraie sans exception la formule $\deg(PQ)=\deg P+\deg Q$.

L'intégrité de $\K[X]$ se démontre justement par le degré : si $P$ et $Q$ sont non nuls, le coefficient dominant de $PQ$ est le produit des coefficients dominants, non nul puisque $\K$ est un corps. Donc $PQ\neq0$. C'est une différence majeure avec $\mathcal{M}_n(\K)$ du chapitre 9, et elle vous rend le droit de raisonner par « produit nul donc facteur nul ».

Polynôme et fonction polynomiale. Un polynôme est une suite de coefficients, presque tous nuls ; la fonction associée s'obtient en évaluant. Sur $\R$ ou $\C$, deux polynômes distincts donnent des fonctions distinctes, ce qui autorise l'identification. Retenez toutefois le principe, car le programme le souligne : $X$ est une indéterminée, pas un nombre.

Le calcul se pose exactement comme une division de nombres, en travaillant sur le terme de plus haut degré. La condition qui assure l'unicité est ici $\deg R < \deg B$, en lieu et place du $0\leqslant r < |b|$ du chapitre 7. Même rôle, même démonstration d'unicité.

La notion d'associé remplace celle de signe. Dans $\Z$, $6$ et $-6$ ont les mêmes diviseurs ; dans $\K[X]$, $P$ et $3P$ aussi. C'est pour cela qu'on convient de prendre le PGCD unitaire : sans cette normalisation, il ne serait défini qu'à une constante près.

Le résultat fondateur — $a$ racine équivaut à $X-a$ divise $P$ — se démontre en deux lignes par division euclidienne par $X-a$ : le reste est constant, et vaut $P(a)$. Vous l'aviez rencontré au chapitre 3 sur des exemples ; le voici démontré en général.

La conséquence la plus utilisée n'est pas celle qu'on croit : un polynôme de degré au plus $n$ ayant plus de $n$ racines est nul. C'est l'argument qui permet de démontrer qu'une identité polynomiale est vraie partout après l'avoir vérifiée en un nombre fini de points — technique qui reviendra constamment.

La multiplicité se voit sur le graphe, et c'est ce qui la rend intuitive : une racine simple traverse l'axe, une racine double y rebondit sans le franchir, une racine triple le traverse en s'aplatissant. Le point d donnera la caractérisation par les dérivées, qui est l'outil de calcul.

La méthode de Horner évalue $P(a)$ en factorisant les puissances de proche en proche. Elle divise le nombre de multiplications par deux environ, et surtout elle est numériquement plus stable. C'est un exercice classique de votre cours d'informatique, avec l'analyse de complexité qui va avec.

La dérivée est ici une opération sur les coefficients, pas une limite. On décrète que la dérivée de $X^k$ est $kX^{k-1}$ et on prolonge par linéarité. Sur $\R$, on retrouve la dérivée du chapitre 4 ; mais la définition formelle n'a besoin d'aucune analyse.

La formule de Taylor polynomiale est exacte, sans reste : un polynôme de degré $n$ est égal à son développement de Taylor à l'ordre $n$ en n'importe quel point. C'est ce qui distingue le cas polynomial du cas général du chapitre 11, où il restera toujours un terme d'erreur.

La caractérisation de la multiplicité est l'outil pratique : $a$ est racine de multiplicité $m$ si et seulement si les dérivées d'ordre $0$ à $m-1$ s'annulent en $a$ et pas la $m$-ième. C'est exactement ce que la figure du point c montrait : plus la multiplicité est grande, plus le contact avec l'axe est plat.

Il n'y a presque rien à apprendre : c'est le chapitre 7 recopié, avec le degré à la place de la valeur absolue. Ce parallèle mérite d'être vu comme tel, parce qu'il vous fait gagner un chapitre entier de mémorisation.

Le théorème de d'Alembert-Gauss affirme que tout polynôme non constant de $\C[X]$ admet au moins une racine. Par récurrence immédiate, tout polynôme de $\C[X]$ est donc scindé. C'est le résultat qui justifie rétrospectivement tout le chapitre 3 : on travaille dans $\C$ parce qu'on y trouve toujours les racines.

Les irréductibles se déduisent aussitôt. Dans $\C[X]$, ce sont exactement les polynômes de degré 1. Dans $\R[X]$, ce sont les degrés 1, et les degrés 2 à discriminant strictement négatif — parce qu'une racine complexe non réelle d'un polynôme réel vient toujours avec sa conjuguée, et que le produit $(X-z)(X-\bar z)$ est un trinôme réel.

La factorisation de $X^{n}-1$ est la synthèse du chapitre 3 : ses racines sont exactement les racines $n$-ièmes de l'unité, donc $X^{n}-1=\prod_{k=0}^{n-1}\big(X-e^{2ik\pi/n}\big)$ dans $\C[X]$. Sur $\R[X]$, on regroupe les racines conjuguées deux à deux, ce qui donne des trinômes, plus les facteurs $X-1$ et, si $n$ est pair, $X+1$.

Par deux points passe une unique droite, par trois points une unique parabole — à condition que les abscisses soient distinctes. Le résultat général dit : par $n+1$ points d'abscisses distinctes passe un unique polynôme de degré au plus $n$.

L'unicité se démontre par un argument de degré, celui du point c : la différence de deux solutions est de degré au plus $n$ et s'annule en $n+1$ points, donc elle est nulle. Trois lignes.

L'existence est constructive, via les polynômes de Lagrange $L_i$, qui valent $1$ en $x_i$ et $0$ ailleurs. Une fois qu'on les a, la solution s'écrit comme combinaison des valeurs à atteindre. C'est un procédé qu'on retrouvera au chapitre 12 sous le nom de base adaptée.

Tous les polynômes qui interpolent ces mêmes points s'obtiennent en ajoutant un multiple de $\prod(X-x_i)$ — encore la structure « solution particulière plus solution homogène », pour la quatrième fois du semestre.

$\K(X)$ est à $\K[X]$ ce que $\Q$ est à $\Z$ : on fabrique des quotients. La forme irréductible — numérateur et dénominateur premiers entre eux, dénominateur unitaire — est unique, exactement comme la forme irréductible d'un rationnel au chapitre 7.

Le degré d'une fraction est la différence des degrés, et il peut donc être négatif. La partie entière est le quotient de la division euclidienne : toute fraction s'écrit polynôme plus fraction de degré strictement négatif. C'est la première étape de toute décomposition en éléments simples.

Zéros et pôles se lisent sur la forme irréductible : les zéros sont les racines du numérateur, les pôles celles du dénominateur, avec leurs multiplicités. Sur la forme non réduite, on lirait des zéros et des pôles fantômes qui se simplifient.

L'idée : toute fraction rationnelle se réécrit comme une somme de morceaux élémentaires, chacun attaché à un pôle. Sur $\C$, les morceaux sont des $\dfrac{\lambda}{(X-a)^{k}}$ ; sur $\R$, il faut y ajouter des termes $\dfrac{aX+b}{(X^{2}+pX+q)^{k}}$ pour les trinômes irréductibles.

La méthode pratique, dans l'ordre :

1. mettre sous forme irréductible et extraire la partie entière ;
2. factoriser le dénominateur en irréductibles — c'est le point f ;
3. écrire la forme de la décomposition, avec un terme par pôle et par exposant ;
4. déterminer les coefficients.

Pour l'étape 4, trois techniques, à connaître et à combiner. Multiplier par $(X-a)^{m}$ puis évaluer en $a$ donne directement le coefficient de plus haut degré associé au pôle $a$ — c'est la plus rapide. Multiplier par $X$ et faire tendre vers l'infini donne une relation entre les coefficients. Évaluer en un point commode, souvent $0$, en donne une autre. Le système complet ne se résout à la main qu'en dernier recours.

Le cas $P'/P$ est remarquable et explicitement au programme : si $P$ est scindé, la décomposition de $P'/P$ est la somme des $\dfrac{m_k}{X-a_k}$, où $m_k$ est la multiplicité de la racine $a_k$. C'est la dérivée logarithmique du chapitre 4, sous forme algébrique — et c'est un moyen élégant de lire les multiplicités.