Techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral

Du vocabulaire, essentiellement déjà connu. Deux réflexes à installer malgré tout, parce qu'ils font gagner un temps considérable en devoir.

Chercher les symétries avant d'étudier. Si $f$ est paire, on l'étudie sur $\R_+$ et on complète par symétrie : le travail est divisé par deux. Si $f$ est $T$-périodique, on l'étudie sur un intervalle de longueur $T$. Un étudiant qui dresse un tableau de variations sur $\R$ tout entier pour une fonction $2\pi$-périodique perd vingt minutes et se trompe.

Déterminer l'ensemble de définition, et l'écrire. C'est la première ligne de toute étude de fonction, et c'est là que se logent les points où le raisonnement va casser plus loin — dénominateur nul, logarithme d'un négatif, racine carrée d'un négatif, tangente en $\frac{\pi}{2}$.

Notez la caractérisation « $f$ bornée $\iff |f|$ majorée » : elle a l'air anodine, elle sera le point de départ de presque toutes les majorations de l'année, parce qu'elle transforme deux conditions (majorée et minorée) en une seule.

Vous savez dériver. Ce qui change ici, c'est le niveau d'exigence sur la rigueur du domaine et l'apparition de deux outils nouveaux.

La dérivée d'une réciproque. Si $f$ est une bijection dérivable et que $f'$ ne s'annule pas, alors $f^{-1}$ est dérivable et $(f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'\big(f^{-1}(y)\big)}$. C'est cette formule qui va produire les dérivées d'Arcsin, Arccos et Arctan au point suivant — ne les apprenez pas par cœur avant d'avoir vu qu'elles en sortent en trois lignes.

Les dérivées partielles, en avant-première. Le programme les introduit uniquement parce que la physique en a besoin : pour $f(x,t)$, la dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}$ consiste à dériver par rapport à $x$ en traitant $t$ comme une constante. C'est tout. Aucune théorie n'est exigible ici — ni continuité, ni différentiabilité, ni théorème de Schwarz. Vous les retrouverez à la section 20, et vous les utiliserez d'ici là dans l'équation de d'Alembert et en thermodynamique.

L'usage de la dérivée pour démontrer une inégalité est explicitement au programme, et c'est la méthode la plus rentable de l'année : pour montrer $f(x)\geqslant g(x)$ sur un intervalle, on étudie $h=f-g$, on montre que $h$ est croissante et que $h$ s'annule au bord. Trois lignes, et ça marche presque toujours.

Trois familles, et une méthode d'étude commune.

Exponentielle, logarithme, puissances. Rien de neuf, sauf que les croissances comparées deviennent un outil de calcul quotidien, et que les deux inégalités $e^x\geqslant 1+x$ et $\ln(1+x)\leqslant x$ sont explicitement exigibles. Elles se démontrent chacune en trois lignes par la méthode de la dérivée : étudiez $h(x)=e^x-1-x$ et concluez. Faites-le une fois, vous ne les oublierez plus.

Les circulaires réciproques. C'est le vrai contenu neuf de ce point, et le plus délicat. Le cosinus et le sinus ne sont pas injectifs sur $\R$ : pour les inverser, il faut restreindre. Le choix de l'intervalle de restriction est une convention, mais il n'est pas arbitraire — on prend le plus grand intervalle sur lequel la fonction est strictement monotone et contenant $0$ quand c'est possible.

Les hyperboliques. Le programme les demande, mais légèrement : leurs réciproques sont hors programme, et la seule relation exigible est $\operatorname{ch}^2-\operatorname{sh}^2=1$. Ne perdez pas de temps sur une trigonométrie hyperbolique complète — elle n'est pas demandée.

Un point court, mais dont dépend toute la partie B. Une fonction $f:I\to\C$ se dérive en dérivant séparément sa partie réelle et sa partie imaginaire : si $f=u+iv$, alors $f'=u'+iv'$. Toutes les règles de calcul survivent telles quelles.

Le seul résultat vraiment utile est le dernier, et il faut le connaître dans cette forme : pour $\lambda\in\C$ et $t$ réel,

$$\left(e^{\lambda t}\right)'=\lambda e^{\lambda t}$$

La formule est la même que dans le cas réel — c'est précisément ce qui va permettre de traiter les équations différentielles à coefficients complexes exactement comme les réelles, et de récupérer les solutions oscillantes en prenant partie réelle ou imaginaire à la fin.

Une chose disparaît en passant aux complexes : il n'y a plus de tableau de variations. $\C$ n'est pas ordonné. Une fonction à valeurs complexes n'est ni croissante, ni majorée — seul son module peut l'être. Le programme le signale en creux en ne parlant que de dérivation.

Le mot « intervalle » n'est pas décoratif. C'est la subtilité la plus souvent ratée du chapitre. « Deux primitives diffèrent d'une constante » n'est vrai que sur un intervalle. Sur $\R^*$, qui n'est pas un intervalle, la fonction $x\mapsto\frac1x$ admet pour primitives $\ln|x|+C_1$ sur $\R_-^*$ et $\ln|x|+C_2$ sur $\R_+^*$, avec deux constantes indépendantes. Écrire une seule constante est une erreur, et elle est sanctionnée.

Les primitives de $\frac{1}{ax^2+bx+c}$ se traitent par disjonction sur le discriminant : deux racines réelles distinctes, on décompose en éléments simples et on obtient des logarithmes ; une racine double, on obtient une puissance ; pas de racine réelle, on met sous forme canonique et on obtient un Arctan. Ce dernier cas est celui qui justifie qu'Arctan soit au programme.

Intégration par parties et changement de variable sont les deux seules techniques générales. La première sert quand le produit contient un facteur qui se simplifie en dérivant ($\ln$, un polynôme, une réciproque circulaire). La seconde sert quand on reconnaît une composée.

Une méthode en trois temps, à appliquer mécaniquement.

1. Résoudre l'homogène. $y'+a(x)y=0$ a pour solutions $x\mapsto\lambda e^{-A(x)}$, où $A$ est n'importe quelle primitive de $a$ sur l'intervalle $I$. Changer de primitive revient à changer $\lambda$ : c'est sans effet.

2. Trouver une solution particulière. Soit elle est évidente ou donnée par l'énoncé, soit on applique le principe de superposition si le second membre est une somme, soit on utilise la variation de la constante : on cherche une solution sous la forme $y(x)=\lambda(x)e^{-A(x)}$, on injecte, et tout se simplifie pour ne laisser qu'une primitive à calculer.

3. Additionner et, s'il y a une condition initiale, déterminer $\lambda$.

La structure est ce qu'il faut retenir, plus que la technique : solution générale = une solution particulière + toutes les solutions de l'homogène. Vous avez déjà rencontré cette forme aux racines $n$-ièmes du chapitre 3 (une racine particulière multipliée par $\U_n$), vous la retrouverez pour les systèmes linéaires au chapitre 9, et vous comprendrez pourquoi au chapitre 12 : l'ensemble des solutions est un sous-espace affine, de direction l'espace des solutions homogènes.

La méthode est encore en trois temps, mais l'homogène passe par une équation du second degré — celle du chapitre 3.

1. L'équation caractéristique $r^2+ar+b=0$. On la résout dans $\C$, et sa nature détermine la forme des solutions. Trois cas dans $\R$, deux cas seulement dans $\C$.

2. Une solution particulière. On la cherche « de la même forme que le second membre », en tenant compte d'une éventuelle résonance : si $\lambda$ est racine de l'équation caractéristique, il faut multiplier l'essai par $x$ — et par $x^2$ si $\lambda$ est racine double. C'est le seul point technique du paragraphe, et c'est celui qui tombe.

3. On additionne, et les deux conditions initiales — $y(x_0)$ et $y'(x_0)$, cette fois — déterminent les deux constantes.

Pourquoi la physique adore ce paragraphe. $y''+2\lambda y'+\omega_0^2 y=0$ est l'oscillateur amorti : les trois cas de l'équation caractéristique sont exactement les régimes apériodique, critique et pseudo-périodique. Et le second membre $B\cos(\omega x)$ est le régime sinusoïdal forcé, avec la résonance qui correspond au cas où $i\omega$ est racine. Vous verrez ces trois régimes en physique avant même de les avoir démontrés ici.

La bonne méthode pour un second membre trigonométrique ne consiste pas à chercher $\alpha\cos(\omega x)+\beta\sin(\omega x)$ à l'aveugle : on écrit $\cos(\omega x)=\mathrm{Re}\big(e^{i\omega x}\big)$, on résout avec le second membre exponentiel — bien plus simple — et on prend la partie réelle à la fin. C'est le même geste qu'au chapitre 3, et c'est la raison pour laquelle le programme autorise $\lambda$ complexe.