À savoir de tête

a · Logique

Négation d'un quantificateur :

$$\neg\big(\forall x\in E,\ P(x)\big)\iff \exists x\in E,\ \neg P(x) \qquad\qquad \neg\big(\exists x\in E,\ P(x)\big)\iff \forall x\in E,\ \neg P(x)$$

Négation d'une implication, et contraposée :

$$\neg(P\Rightarrow Q)\iff (P \text{ et } \neg Q) \qquad\qquad (P\Rightarrow Q)\iff(\neg Q\Rightarrow \neg P)$$

De Morgan :

$$\neg(P \text{ et } Q)\iff(\neg P \text{ ou } \neg Q) \qquad\qquad \neg(P \text{ ou } Q)\iff(\neg P \text{ et } \neg Q)$$

Récurrences

Simple : $\big(P(n_0)\ \text{ et }\ \forall n\geqslant n_0,\ P(n)\Rightarrow P(n+1)\big)\ \Longrightarrow\ \forall n\geqslant n_0,\ P(n)$.

Double : deux initialisations, $P(n_0)$ et $P(n_0+1)$. Forte : l'hypothèse est « $P(k)$ pour tout $k$ entre $n_0$ et $n$ ».

b · Ensembles $$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}\qquad\qquad \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$$ $$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\qquad\qquad A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$$ $$\operatorname{Card}\mathcal{P}(E)=2^{\,\operatorname{Card} E}$$

c · Applications $$f^{-1}(B\cup C)=f^{-1}(B)\cup f^{-1}(C)\qquad f^{-1}(B\cap C)=f^{-1}(B)\cap f^{-1}(C)\qquad f^{-1}\big(\overline{B}\big)=\overline{f^{-1}(B)}$$ $$f(A\cup A')=f(A)\cup f(A')\qquad\text{mais seulement}\qquad f(A\cap A')\subset f(A)\cap f(A')$$ $$(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$$ $$f \text{ bijective}\iff \exists g,\ g\circ f=\mathrm{id}_E \ \text{ et }\ f\circ g=\mathrm{id}_F$$ $$\mathbf{1}_{A\cap B}=\mathbf{1}_A\,\mathbf{1}_B\qquad \mathbf{1}_{\overline{A}}=1-\mathbf{1}_A\qquad \mathbf{1}_{A\cup B}=\mathbf{1}_A+\mathbf{1}_B-\mathbf{1}_A\mathbf{1}_B$$

a · Sommes et produits $$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\qquad \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\qquad \sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}$$ $$\sum_{k=0}^{n}x^{k}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\quad (x\neq 1),\qquad \sum_{k=0}^{n}1^{k}=n+1$$ $$a^{n}-b^{n}=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{k}b^{\,n-1-k}$$ $$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\qquad \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\qquad \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$$ $$k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}\qquad (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{k}b^{\,n-k}$$

b · Pivot $$L_i\leftrightarrow L_j \qquad L_i\leftarrow\lambda L_i\quad(\lambda\neq 0) \qquad L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j\quad(i\neq j)$$

c · Inégalités $$\big|\,|a|-|b|\,\big|\ \leqslant\ |a+b|\ \leqslant\ |a|+|b|$$ $$|x-a|\leqslant b\iff a-b\leqslant x\leqslant a+b$$ $$\lfloor x\rfloor\in\Z\ \text{ et }\ \lfloor x\rfloor\leqslant x<\lfloor x\rfloor+1$$ $$\forall x\in\R,\ e^{x}\geqslant 1+x \qquad\qquad \forall x>-1,\ \ln(1+x)\leqslant x$$

d · Trigonométrie $$\cos^2 x+\sin^2 x=1\qquad\qquad 1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}\quad\left(x\not\equiv\tfrac{\pi}{2}\ [\pi]\right)$$ $$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\qquad \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$$ $$\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$$ $$\sin 2a=2\sin a\cos a\qquad \cos 2a=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a$$ $$\cos a\cos b=\tfrac12\big[\cos(a-b)+\cos(a+b)\big]\qquad \sin a\sin b=\tfrac12\big[\cos(a-b)-\cos(a+b)\big]$$ $$\sin a\cos b=\tfrac12\big[\sin(a+b)+\sin(a-b)\big]$$

b · Conjugaison et module $$\overline{z+z'}=\bar z+\overline{z'}\qquad \overline{zz'}=\bar z\,\overline{z'}\qquad \overline{\bar z}=z$$ $$\mathrm{Re}(z)=\frac{z+\bar z}{2}\qquad \mathrm{Im}(z)=\frac{z-\bar z}{2i}\qquad |z|^{2}=z\bar z$$ $$\big||z|-|z'|\big|\ \leqslant\ |z+z'|\ \leqslant\ |z|+|z'|$$

c · Module 1 et trigonométrie $$e^{it}=\cos t+i\sin t,\qquad e^{i(t+t')}=e^{it}e^{it'}$$ $$\cos t=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}\qquad\qquad \sin t=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}$$ $$\big(\cos t+i\sin t\big)^{n}=\cos(nt)+i\sin(nt)$$ $$1+e^{it}=2\cos\!\left(\frac{t}{2}\right)e^{it/2}\qquad e^{ip}+e^{iq}=2\cos\!\left(\frac{p-q}{2}\right)e^{i\frac{p+q}{2}}$$

e · Équations algébriques $$az^{2}+bz+c=0 \ (a\neq0)\quad\Longrightarrow\quad z=\frac{-b\pm\delta}{2a}\ \text{ où } \delta^{2}=\Delta=b^{2}-4ac$$ $$z_1+z_2=-\frac{b}{a}\qquad\qquad z_1z_2=\frac{c}{a}$$

f · Racines n-ièmes $$\U_n=\left\{e^{\frac{2ik\pi}{n}}\ \middle|\ k\in\{0,1,\dots,n-1\}\right\},\qquad \sum_{k=0}^{n-1}e^{\frac{2ik\pi}{n}}=0\ (n\geqslant2)$$ $$z^{n}=\rho e^{i\alpha}\ \Longrightarrow\ z_k=\rho^{1/n}\,e^{i\left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)},\quad k=0,\dots,n-1$$

g · Exponentielle complexe $$e^{z}=e^{a}\big(\cos b+i\sin b\big)\ \text{ pour }z=a+ib,\qquad |e^{z}|=e^{a}$$ $$e^{z}=e^{z'}\iff z-z'\in 2i\pi\Z \qquad\qquad e^{z}=1\iff z\in2i\pi\Z$$ $$e^{z}=a=\rho e^{i\alpha}\ \Longrightarrow\ z=\ln\rho+i(\alpha+2k\pi),\quad k\in\Z$$

a · Généralités sur les fonctions $$f \text{ paire} \iff \forall x\in D_f,\ -x\in D_f \text{ et } f(-x)=f(x) \qquad \text{(graphe symétrique par rapport à } (Oy))$$ $$f \text{ impaire} \iff f(-x)=-f(x) \qquad\text{(graphe symétrique par rapport à l'origine)}$$ $$f \ T\text{-périodique} \iff \forall x\in D_f,\ x+T\in D_f \text{ et } f(x+T)=f(x)$$ $$f \text{ bornée sur } I \iff \exists M\in\R_+,\ \forall x\in I,\ |f(x)|\leqslant M$$

b · Dérivation

Les opérations, dont la dérivée d'une composée — celle que tout le monde rate sous stress :

$$(uv)'=u'v+uv' \qquad \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}} \qquad (v\circ u)'=u'\times(v'\circ u)$$

Les composées usuelles, à reconnaître instantanément :

$$\big(u^{\alpha}\big)'=\alpha u' u^{\alpha-1}\qquad \big(e^{u}\big)'=u'e^{u}\qquad \big(\ln|u|\big)'=\frac{u'}{u}\qquad \big(\sqrt{u}\big)'=\frac{u'}{2\sqrt u}$$

Tangente au point d'abscisse $a$ :

$$y=f(a)+f'(a)(x-a)$$

Dérivée d'une réciproque :

$$\big(f^{-1}\big)'(y)=\frac{1}{f'\big(f^{-1}(y)\big)}\qquad\text{à condition que } f'\big(f^{-1}(y)\big)\neq 0$$

Moyen de la retrouver sans l'apprendre : dérivez $f\big(f^{-1}(y)\big)=y$ par la formule de composition.

c · Étude d'une fonction — les fonctions usuelles $$\arcsin:[-1,1]\longrightarrow\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right],\qquad \arccos:[-1,1]\longrightarrow[0,\pi],\qquad \arctan:\R\longrightarrow\left]-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right[$$

Leurs dérivées — toutes trois obtenues par la formule de la réciproque :

$$\arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\qquad \arccos'(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\qquad \arctan'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}$$

Les deux premières ne sont définies que sur $]-1,1[$ : aux bornes $\pm1$, les tangentes sont verticales. La troisième est définie sur $\R$ tout entier, ce qui fait d'Arctan la plus commode des trois.

Les relations à connaître :

$$\arccos x+\arcsin x=\frac{\pi}{2}\quad (x\in[-1,1]) \qquad \arctan x+\arctan\frac{1}{x}=\varepsilon\frac{\pi}{2},\ \varepsilon=\operatorname{signe}(x)$$

Hyperboliques :

$$\operatorname{ch}x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},\quad \operatorname{sh}x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2},\quad \operatorname{th}x=\frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x},\qquad \operatorname{ch}^{2}x-\operatorname{sh}^{2}x=1$$ $$\operatorname{ch}'=\operatorname{sh}\qquad \operatorname{sh}'=\operatorname{ch}\qquad \operatorname{th}'=1-\operatorname{th}^{2}=\frac{1}{\operatorname{ch}^{2}}$$

Notez qu'il n'y a pas de signe moins en dérivant $\operatorname{ch}$, contrairement au cosinus. C'est la différence la plus fréquemment oubliée.

a · Calcul de primitives $$\int x^{\alpha}\,\mathrm{d}x=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\ (\alpha\neq-1) \qquad \int \frac{\mathrm{d}x}{x}=\ln|x| \qquad \int e^{\lambda x}\,\mathrm{d}x=\frac{e^{\lambda x}}{\lambda}\ (\lambda\in\C^{*})$$ $$\int \frac{\mathrm{d}x}{1+x^{2}}=\arctan x \qquad \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\arcsin x \qquad \int \tan x\,\mathrm{d}x=-\ln|\cos x|$$

Les formes composées, qu'il faut reconnaître d'un coup d'œil :

$$\int \frac{u'}{u}=\ln|u| \qquad \int u'u^{\alpha}=\frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}\qquad \int u'e^{u}=e^{u}\qquad \int \frac{u'}{1+u^{2}}=\arctan u$$

Les deux techniques :

$$\int_a^b u'v = \big[uv\big]_a^b-\int_a^b uv' \qquad\qquad \int_a^b f\big(\varphi(t)\big)\varphi'(t)\,\mathrm{d}t=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,\mathrm{d}x$$

Dans un changement de variable, n'oubliez jamais de changer aussi les bornes et l'élément différentiel. Les trois vont ensemble ; en oublier un donne un résultat faux sans aucun signal d'alarme.

b · Équations différentielles linéaires du premier ordre

Solutions de l'équation homogène $y'+a(x)y=0$ sur un intervalle $I$ :

$$y(x)=\lambda\,e^{-A(x)},\qquad \lambda\in\K,\quad A \text{ primitive de } a \text{ sur } I$$

Principe de superposition — si $y_1$ résout avec second membre $b_1$ et $y_2$ avec $b_2$, alors $\alpha y_1+\beta y_2$ résout avec $\alpha b_1+\beta b_2$.

Problème de Cauchy : pour tout $(x_0,y_0)\in I\times\K$, il existe une unique solution vérifiant $y(x_0)=y_0$.

L'unicité est ce qui donne son sens physique au modèle : l'état initial détermine toute l'évolution. C'est aussi ce qui permet, en pratique, de conclure qu'une solution trouvée est la solution.

c · Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

Équation caractéristique de $y''+ay'+by=0$ : $\ r^{2}+ar+b=0$, de discriminant $\Delta$.

Dans $\C$, ou dans $\R$ avec $\Delta>0$ — deux racines distinctes $r_1\neq r_2$ :

$$y(x)=\lambda e^{r_1 x}+\mu e^{r_2 x}$$

Racine double $r$ (cas $\Delta=0$) :

$$y(x)=(\lambda x+\mu)\,e^{r x}$$

Dans $\R$ avec $\Delta<0$ — racines conjuguées $\alpha\pm i\beta$ ; c'est la forme réelle, celle que le programme demande :

$$y(x)=e^{\alpha x}\big(\lambda\cos(\beta x)+\mu\sin(\beta x)\big)$$

Elle s'écrit aussi $C e^{\alpha x}\cos(\beta x-\varphi)$ — c'est la transformation $a\cos+b\sin$ du chapitre 3, et c'est sous cette forme que la physique lit l'amplitude et la phase.

Recherche d'une solution particulière pour $f(x)=P(x)e^{\lambda x}$, avec $P$ polynomial de degré $d$ :

$$\text{on cherche } y_0(x)=x^{m}Q(x)e^{\lambda x},\quad \deg Q=d,\quad m=\begin{cases}0 & \text{si } \lambda \text{ n'est pas racine}\\ 1 & \text{si } \lambda \text{ est racine simple}\\ 2 & \text{si } \lambda \text{ est racine double}\end{cases}$$

Le cas $\lambda=0$ redonne le second membre polynomial, mentionné à part dans le programme. Le cas $m\geqslant1$ est la résonance.

a · Ensembles usuels de nombres

Approximation décimale à $10^{-n}$ près, par défaut et par excès :

$$\frac{\lfloor 10^{n}x\rfloor}{10^{n}}\ \leqslant\ x\ <\ \frac{\lfloor 10^{n}x\rfloor+1}{10^{n}}$$

Les formes indéterminées, au nombre de quatre :

$$\infty-\infty \qquad 0\times\infty \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad \frac{0}{0}$$

Les formes $1^{\infty}$, $0^{0}$, $\infty^{0}$ s'y ramènent en passant à l'exponentielle : $u^{v}=e^{v\ln u}$, ce qui redonne un $0\times\infty$.

L'irrationalité de $\sqrt2$ — la démonstration à savoir refaire, par l'absurde :

$$\sqrt{2}\notin\Q$$

Elle recombine le raisonnement par l'absurde du chapitre 1 et l'arithmétique du chapitre 7. C'est un grand classique de colle en début d'année.

b · La propriété de la borne supérieure

Définition de la borne supérieure :

$$M=\sup A \iff \begin{cases} \forall x\in A,\ x\leqslant M & (M \text{ majore } A)\\[2pt] \forall M'\ \text{majorant de } A,\ M\leqslant M' & (M \text{ est le plus petit}) \end{cases}$$

Caractérisation par les $\varepsilon$ — la forme réellement utilisée :

$$M=\sup A \iff \big(\forall x\in A,\ x\leqslant M\big)\ \text{ et }\ \big(\forall\varepsilon>0,\ \exists x\in A,\ x>M-\varepsilon\big)$$

La seconde condition dit : aussi peu qu'on descende sous $M$, on retrouve un élément de $A$. C'est cette version qui se transforme en suite : pour $\varepsilon=\frac1n$, on obtient $x_n\in A$ avec $M-\frac1n<x_n\leqslant M$, donc $x_n\to M$.

Caractérisation des intervalles :

$$I \text{ est un intervalle} \iff \forall (x,y)\in I^{2},\ \forall t\in[x,y],\ t\in I$$

d · Limite d'une suite

Convergence vers $\ell\in\R$ :

$$u_n\longrightarrow \ell \iff \forall \varepsilon>0,\ \exists N\in\N,\ \forall n\geqslant N,\ |u_n-\ell|\leqslant\varepsilon$$

Divergence vers $+\infty$ :

$$u_n\longrightarrow +\infty \iff \forall A\in\R,\ \exists N\in\N,\ \forall n\geqslant N,\ u_n\geqslant A$$

Et leurs négations — le geste du chapitre 1, à savoir refaire instantanément :

$$u_n\not\longrightarrow \ell \iff \exists \varepsilon>0,\ \forall N\in\N,\ \exists n\geqslant N,\ |u_n-\ell|>\varepsilon$$

Théorème d'encadrement :

$$\big(v_n\leqslant u_n\leqslant w_n \text{ à partir d'un certain rang}\big)\ \text{ et }\ v_n\to\ell,\ w_n\to\ell \ \Longrightarrow\ u_n\to\ell$$

Le théorème donne l'existence de la limite et sa valeur. C'est ce qui le distingue d'une simple majoration.

e · Théorème de la limite monotone — suites adjacentes $$(u_n) \text{ croissante et majorée} \implies (u_n) \text{ converge, et } \lim u_n=\sup\{u_n\mid n\in\N\}$$ $$(u_n) \text{ croissante et non majorée} \implies u_n\to+\infty$$

Suites adjacentes :

$$\big(u_n \text{ croissante},\ v_n \text{ décroissante},\ v_n-u_n\to 0\big)\implies \begin{cases}u_n \text{ et } v_n \text{ convergent vers la même limite }\ell\\ \forall n,\ u_n\leqslant \ell\leqslant v_n\end{cases}$$

f · Suites extraites — théorème de Bolzano-Weierstrass $$\varphi:\N\to\N \text{ strictement croissante} \implies \forall n\in\N,\ \varphi(n)\geqslant n$$ $$u_n\to\ell \implies \forall \varphi,\ u_{\varphi(n)}\to\ell$$ $$\big(u_{2n}\to\ell \text{ et } u_{2n+1}\to\ell\big) \implies u_n\to\ell$$

Bolzano-Weierstrass :

$$(u_n) \text{ bornée} \implies \exists \varphi \text{ strictement croissante},\ (u_{\varphi(n)}) \text{ converge}$$

g · Densité $$D \text{ dense dans }\R \iff \forall (a,b)\in\R^2,\ a<b \Rightarrow D\cap\,]a,b[\;\neq\varnothing$$ $$\iff \forall x\in\R,\ \exists (d_n)\in D^{\N},\ d_n\longrightarrow x$$

h · Suites complexes $$u_n\to\ell \text{ dans }\C \iff \mathrm{Re}(u_n)\to\mathrm{Re}(\ell)\ \text{ et }\ \mathrm{Im}(u_n)\to\mathrm{Im}(\ell) \iff |u_n-\ell|\to 0$$

i · Suites particulières et suites récurrentes

Suite géométrique — la limite selon la raison :

$$q^{n}\longrightarrow \begin{cases} 0 & \text{si } |q|<1\\ 1 & \text{si } q=1\\ +\infty & \text{si } q>1\\ \text{pas de limite} & \text{si } q\leqslant-1 \end{cases}$$

Arithmético-géométrique $u_{n+1}=au_n+b$ avec $a\neq1$, de point fixe $\omega=\dfrac{b}{1-a}$ :

$$u_n-\omega=a^{n}(u_0-\omega)$$

Récurrence linéaire d'ordre 2, $u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n$, d'équation caractéristique $r^{2}=ar+b$ :

$$u_n=\lambda r_1^{\,n}+\mu r_2^{\,n} \quad (r_1\neq r_2) \qquad u_n=(\lambda n+\mu)\,r^{\,n} \quad (\text{racine double})$$ $$u_n=\rho^{\,n}\big(\lambda\cos(n\theta)+\mu\sin(n\theta)\big) \quad (\text{cas réel, racines } \rho e^{\pm i\theta})$$

C'est exactement la structure du chapitre 4 pour les équations différentielles du second ordre. Les deux résultats se démontrent différemment mais se retiennent ensemble.

a · Limite d'une fonction en un point

Limite finie en un point fini :

$$\lim_{x\to a}f(x)=\ell \iff \forall\varepsilon>0,\ \exists\eta>0,\ \forall x\in I,\ |x-a|\leqslant\eta \implies |f(x)-\ell|\leqslant\varepsilon$$

Limite finie en $+\infty$ :

$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell \iff \forall\varepsilon>0,\ \exists A\in\R,\ \forall x\geqslant A,\ |f(x)-\ell|\leqslant\varepsilon$$

Caractérisation séquentielle :

$$\lim_{x\to a}f(x)=\ell \iff \forall (x_n)\in I^{\N},\ \big(x_n\to a \implies f(x_n)\to\ell\big)$$

Le $\eta$ dépend de $\varepsilon$, jamais l'inverse — exactement comme le rang $N$ dépendait de $\varepsilon$ pour les suites.

c · Continuité sur un intervalle — les trois grands théorèmes

Valeurs intermédiaires. Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ :

$$\exists c\in[a,b],\quad f(c)=k$$

Bornes atteintes. Si $f$ est continue sur un segment $[a,b]$, elle est bornée et :

$$\exists (\alpha,\beta)\in[a,b]^{2},\quad f(\alpha)=\inf_{[a,b]}f \ \text{ et }\ f(\beta)=\sup_{[a,b]}f$$

Autrement dit $f\big([a,b]\big)=\big[\,\min f,\ \max f\,\big]$ : l'image d'un segment est un segment. Les deux théorèmes précédents se combinent exactement en cet énoncé.

Théorème de la bijection. Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ :

$$f:I\longrightarrow f(I)\ \text{ est bijective},\quad f^{-1}\ \text{ est continue et strictement monotone de même sens}$$

a · Dérivabilité en un point $$f \text{ dérivable en } a \iff \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \text{ existe et est finie}$$ $$\iff f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+o(x-a) \quad\text{au voisinage de } a$$ $$\text{tangente : } y=f(a)+f'(a)(x-a)$$

Dérivée d'une réciproque, cette fois démontrée :

$$\big(f^{-1}\big)'(y)=\frac{1}{f'\big(f^{-1}(y)\big)}\quad\text{si } f'\big(f^{-1}(y)\big)\neq0$$

b · Extremums, Rolle, accroissements finis

Rolle. $f$ continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$, et $f(a)=f(b)$ :

$$\exists c\in\,]a,b[,\quad f'(c)=0$$

Égalité des accroissements finis. $f$ continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$ :

$$\exists c\in\,]a,b[,\quad f(b)-f(a)=f'(c)\,(b-a)$$

Inégalité des accroissements finis. Si de plus $|f'|\leqslant M$ sur $]a,b[$ :

$$|f(b)-f(a)|\leqslant M\,|b-a|$$

Cette dernière vaut pour les fonctions à valeurs complexes, contrairement à l'égalité — dont $t\mapsto e^{it}$ sur $[0,2\pi]$ fournit le contre-exemple : la variation est nulle, la dérivée ne s'annule jamais.

c · Monotonie, limite de la dérivée, classe $\mathcal{C}^{k}$

Sur un intervalle $I$, pour $f$ dérivable :

$$f'=0 \text{ sur } I \iff f \text{ constante} \qquad f'\geqslant0 \text{ sur } I \iff f \text{ croissante}$$

Théorème de la limite de la dérivée :

$$\big(f \text{ continue en } a,\ f \text{ dérivable sur } I\setminus\{a\},\ f'(x)\xrightarrow[x\to a]{}\ell\in\R\big)\implies f \text{ dérivable en } a,\ f'(a)=\ell$$

Formule de Leibniz :

$$(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}\,g^{(n-k)}$$

b · Caractérisations par la dérivée

Définition, sur un intervalle $I$ :

$$\forall (x,y)\in I^{2},\ \forall\lambda\in[0,1],\quad f\big(\lambda x+(1-\lambda)y\big)\leqslant \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$$

Inégalité de Jensen, pour $\lambda_1+\dots+\lambda_n=1$ avec $\lambda_i\geqslant0$ :

$$f\left(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i x_i\right)\leqslant \sum_{i=1}^{n}\lambda_i f(x_i)$$

Caractérisations, pour $f$ dérivable puis deux fois dérivable sur $I$ :

$$f \text{ convexe} \iff f' \text{ croissante} \iff f''\geqslant0$$

Position par rapport à la tangente en $a$ :

$$\forall x\in I,\quad f(x)\geqslant f(a)+f'(a)(x-a)$$

Prise en $a=0$ pour $f=\exp$, cette dernière inégalité est $e^{x}\geqslant1+x$.

a · Divisibilité et division euclidienne $$a\mid b \iff \exists k\in\Z,\ b=ka$$

Division euclidienne. Pour $(a,b)\in\Z\times\Z^{*}$, il existe un unique couple $(q,r)\in\Z^{2}$ tel que :

$$a=bq+r \qquad\text{avec}\qquad 0\leqslant r<|b|$$

Propriétés à réutiliser constamment :

$$\big(d\mid a \text{ et } d\mid b\big)\implies \forall(u,v)\in\Z^{2},\ d\mid (au+bv)$$

Cette dernière — un diviseur commun divise toute combinaison linéaire — est l'argument qui revient dans presque toutes les démonstrations du chapitre.

b · PGCD, algorithme d'Euclide, relation de Bézout $$\{ \text{diviseurs communs à } a \text{ et } b \} = \{ \text{diviseurs de } a\wedge b \}$$ $$a=bq+r \implies a\wedge b = b\wedge r$$

Relation de Bézout — elle existe toujours :

$$\exists (u,v)\in\Z^{2},\quad au+bv=a\wedge b$$

Lien PGCD-PPCM :

$$(a\wedge b)\times(a\vee b)=|ab|$$

Homogénéité, utile pour simplifier :

$$(ka)\wedge(kb)=|k|\,(a\wedge b)$$

c · Entiers premiers entre eux — Bézout et Gauss

Théorème de Bézout — une équivalence, à ne pas confondre avec la relation du point b :

$$a\wedge b=1 \iff \exists(u,v)\in\Z^{2},\ au+bv=1$$

Lemme de Gauss :

$$\big(a\mid bc \ \text{ et }\ a\wedge b=1\big) \implies a\mid c$$

Deux conséquences très employées :

$$\big(a\mid c,\ b\mid c,\ a\wedge b=1\big)\implies ab\mid c$$ $$a\wedge b=1 \text{ et } a\wedge c=1 \implies a\wedge(bc)=1$$

Forme irréductible : tout rationnel s'écrit $\dfrac{p}{q}$ avec $q\geqslant1$ et $p\wedge q=1$, de façon unique.

d · Nombres premiers et décomposition

Test de primalité — la raison pour laquelle le crible s'arrête à $\sqrt n$ :

$$n \text{ non premier},\ n\geqslant2 \implies \exists p \text{ premier},\ p\mid n \ \text{ et }\ p\leqslant\sqrt n$$

Décomposition en facteurs premiers — existence et unicité :

$$n=\prod_{p \text{ premier}} p^{\,v_p(n)} \qquad (n\geqslant1,\ \text{presque tous les } v_p(n) \text{ nuls})$$

Les valuations transforment le multiplicatif en additif :

$$v_p(ab)=v_p(a)+v_p(b) \qquad v_p(a^{k})=k\,v_p(a)$$ $$a\mid b \iff \forall p,\ v_p(a)\leqslant v_p(b)$$ $$v_p(a\wedge b)=\min\big(v_p(a),v_p(b)\big) \qquad v_p(a\vee b)=\max\big(v_p(a),v_p(b)\big)$$

La relation $\min+\max=$ somme redonne immédiatement $(a\wedge b)(a\vee b)=|ab|$ du point b. C'est la démonstration la plus courte de cette identité.

Lemme d'Euclide, cas particulier du lemme de Gauss avec $p$ premier :

$$p \text{ premier},\ p\mid ab \implies p\mid a \ \text{ ou }\ p\mid b$$

e · Congruences $$a\equiv b\ [n] \iff n\mid (a-b) \iff a \text{ et } b \text{ ont le même reste dans la division par } n$$

Compatibilité — mais pas la simplification :

$$\big(a\equiv b\ [n] \text{ et } c\equiv d\ [n]\big)\implies a+c\equiv b+d\ [n] \ \text{ et }\ ac\equiv bd\ [n]$$ $$a\equiv b\ [n] \implies \forall k\in\N,\ a^{k}\equiv b^{k}\ [n]$$

Simplification, sous condition :

$$\big(ac\equiv bc\ [n] \text{ et } c\wedge n=1\big)\implies a\equiv b\ [n]$$

Inversibilité :

$$a \text{ inversible modulo } n \iff a\wedge n=1$$

Petit théorème de Fermat, pour $p$ premier :

$$\forall a\in\Z,\quad a^{p}\equiv a\ [p] \qquad\text{et si de plus } p\nmid a :\qquad a^{\,p-1}\equiv 1\ [p]$$

La première version vaut pour tout $a$ ; la seconde exige que $p$ ne divise pas $a$. Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente sur ce théorème.

a · Lois de composition interne $$\text{associativité :}\quad \forall (x,y,z),\ (x\ast y)\ast z = x\ast(y\ast z)$$ $$\text{neutre :}\quad \exists e,\ \forall x,\ x\ast e = e\ast x = x \qquad\text{(unique)}$$ $$\text{inverse de } x :\quad \exists x',\ x\ast x' = x'\ast x = e \qquad\text{(unique si la loi est associative)}$$

Inverse d'un produit — l'ordre s'inverse, comme pour les bijections du chapitre 1 :

$$(x\ast y)^{-1}=y^{-1}\ast x^{-1}$$

b · Groupes et morphismes

Caractérisation d'un sous-groupe — la rédaction attendue :

$$H \text{ sous-groupe de } G \iff \begin{cases} H\subset G\\ e\in H\\ \forall(x,y)\in H^{2},\ x\ast y^{-1}\in H \end{cases}$$

Morphisme de groupes de $(G,\ast)$ dans $(G',\cdot)$ :

$$\forall(x,y)\in G^{2},\quad f(x\ast y)=f(x)\cdot f(y)$$

Conséquences immédiates, à savoir redémontrer :

$$f(e)=e' \qquad f\big(x^{-1}\big)=f(x)^{-1}$$

Noyau et image :

$$\ker f=f^{-1}\big(\{e'\}\big)=\{x\in G\mid f(x)=e'\} \qquad \operatorname{im} f=f(G)$$ $$f \text{ injectif} \iff \ker f=\{e\} \qquad\qquad f \text{ surjectif} \iff \operatorname{im} f=G'$$

c · Anneaux et corps

Calcul dans un anneau, pour $a$ et $b$ qui commutent :

$$(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{k}b^{\,n-k} \qquad a^{n}-b^{n}=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{k}b^{\,n-1-k}$$

Ce sont exactement les identités du chapitre 2, réénoncées dans leur cadre naturel. Sans l'hypothèse de commutation, les deux sont fausses.

Règles valables dans tout anneau :

$$0\cdot a = a\cdot 0 = 0 \qquad (-a)b=-(ab)$$

Intégrité :

$$A \text{ intègre} \iff \big(ab=0 \implies a=0 \text{ ou } b=0\big)$$

Corps :

$$\K \text{ corps} \iff \K \text{ anneau commutatif non nul et } \K^{\times}=\K\setminus\{0\}$$

Morphisme d'anneaux — trois conditions, dont une souvent oubliée :

$$f(x+y)=f(x)+f(y) \qquad f(xy)=f(x)f(y) \qquad f(1_A)=1_B$$

a · Matrices et opérations $$\big(AB\big)_{i,j}=\sum_{k=1}^{p} a_{i,k}\,b_{k,j} \qquad \mathcal{M}_{n,p}(\K)\times\mathcal{M}_{p,q}(\K)\longrightarrow\mathcal{M}_{n,q}(\K)$$

Transposée, et le renversement du produit :

$$\big(A^{\mathsf{T}}\big)_{i,j}=a_{j,i} \qquad \big(A+B\big)^{\mathsf{T}}=A^{\mathsf{T}}+B^{\mathsf{T}} \qquad \big(AB\big)^{\mathsf{T}}=B^{\mathsf{T}}A^{\mathsf{T}}$$

Matrices élémentaires — la relation qui sert à tout démontrer :

$$E_{i,j}\,E_{k,l}=\delta_{j,k}\,E_{i,l} \qquad\text{où}\quad \delta_{j,k}=\begin{cases}1 & \text{si } j=k\\ 0 & \text{sinon}\end{cases}$$

b · Opérations élémentaires $$L_i\leftrightarrow L_j \qquad L_i\leftarrow\lambda L_i\ (\lambda\neq0) \qquad L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j\ (i\neq j)$$ $$\text{opération sur les lignes} \;\longleftrightarrow\; A\mapsto PA \qquad \text{sur les colonnes} \;\longleftrightarrow\; A\mapsto AQ$$

Les matrices $P$ et $Q$ sont inversibles : c'est ce qui garantit qu'on ne perd ni ne gagne de solutions au passage.

c · Systèmes linéaires

Écriture matricielle et structure des solutions :

$$AX=B \qquad\text{avec } A\in\mathcal{M}_{n,p}(\K),\ X\in\mathcal{M}_{p,1}(\K),\ B\in\mathcal{M}_{n,1}(\K)$$ $$\mathcal{S}=\varnothing \quad\text{ou}\quad \mathcal{S}=\big\{X_0+X_h \ \big|\ AX_h=0\big\}$$

Une solution particulière, plus toutes les solutions homogènes. La même phrase qu'au chapitre 4.

Nombre de paramètres de la solution générale :

$$\text{nombre d'inconnues} \;-\; \text{nombre de pivots}$$

d · L'anneau des matrices carrées — inversibilité

Le vocabulaire des matrices carrées :

$$A \text{ symétrique} \iff A^{\mathsf{T}}=A \qquad A \text{ antisymétrique} \iff A^{\mathsf{T}}=-A$$ $$N \text{ nilpotente} \iff \exists k\in\N^{*},\ N^{k}=0$$

Binôme dans $\mathcal{M}_n(\K)$, uniquement si $AB=BA$ :

$$(A+B)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}A^{k}B^{\,n-k}$$

Application type : $A=\lambda I_n+N$ avec $N^{p}=0$. Le binôme n'a alors que $p$ termes non nuls, quel que soit $n$.

Inversibilité :

$$\mathrm{GL}_n(\K)=\mathcal{M}_n(\K)^{\times} \qquad (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} \qquad \big(A^{\mathsf{T}}\big)^{-1}=\big(A^{-1}\big)^{\mathsf{T}}$$

Matrices triangulaires :

$$T \text{ triangulaire inversible} \iff \forall i,\ t_{i,i}\neq0$$

a · L'anneau $\K[X]$ $$\deg(P+Q)\leqslant\max(\deg P,\deg Q) \quad\text{avec égalité si } \deg P\neq\deg Q$$ $$\deg(PQ)=\deg P+\deg Q \qquad \deg(P\circ Q)=\deg P\times\deg Q$$ $$\K[X] \text{ est intègre} \qquad \K[X]^{\times}=\K^{*} \quad\text{(les inversibles sont les constantes non nulles)}$$

Ce dernier point est décisif pour l'arithmétique : dans $\Z$ les inversibles sont $\pm1$, dans $\K[X]$ ce sont les constantes non nulles. C'est pourquoi on normalise les PGCD en les prenant unitaires.

b · Divisibilité et division euclidienne $$\forall (A,B)\in\K[X]\times\K[X]\setminus\{0\},\ \exists!\,(Q,R),\quad A=BQ+R \ \text{ avec }\ \deg R < \deg B$$

c · Racines et multiplicité $$P(a)=0 \iff (X-a)\mid P \qquad a \text{ racine de multiplicité } m \iff (X-a)^{m}\mid P \ \text{ et }\ (X-a)^{m+1}\nmid P$$ $$\deg P=n\geqslant0 \implies P \text{ a au plus } n \text{ racines, comptées avec multiplicité}$$

Relations coefficients-racines pour $P=a_n\prod_{k=1}^{n}(X-x_k)$ scindé :

$$\sum_{k=1}^{n}x_k=-\frac{a_{n-1}}{a_n} \qquad\qquad \prod_{k=1}^{n}x_k=(-1)^{n}\frac{a_0}{a_n}$$

Le cas $n=2$ redonne les formules du chapitre 3. Elles permettent de calculer une expression symétrique des racines sans jamais les déterminer.

d · Dérivation formelle et formule de Taylor $$(PQ)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}P^{(k)}Q^{(n-k)} \qquad\text{(Leibniz, comme au chapitre 6)}$$

Formule de Taylor polynomiale — exacte, pour $\deg P\leqslant n$ :

$$P=\sum_{k=0}^{n}\frac{P^{(k)}(a)}{k!}\,(X-a)^{k}$$

Caractérisation de la multiplicité :

$$a \text{ racine de multiplicité } m \iff P(a)=P'(a)=\dots=P^{(m-1)}(a)=0 \ \text{ et }\ P^{(m)}(a)\neq0$$

f · Factorisation — d'Alembert-Gauss

d'Alembert-Gauss — admis :

$$P\in\C[X],\ \deg P\geqslant1 \implies P \text{ admet au moins une racine dans } \C$$

Irréductibles :

$$\C[X] : \text{les } aX+b,\ a\neq0 \qquad \R[X] : \text{les } aX+b \text{ et les } aX^{2}+bX+c \text{ avec } \Delta < 0$$

Racines conjuguées d'un polynôme réel :

$$P\in\R[X],\ P(z)=0 \implies P(\bar z)=0 \ \text{ avec la même multiplicité}$$

Factorisation dans $\C[X]$ :

$$X^{n}-1=\prod_{k=0}^{n-1}\left(X-e^{\frac{2ik\pi}{n}}\right)$$

g · Interpolation de Lagrange

Polynômes de Lagrange associés aux points $x_0,\dots,x_n$ distincts :

$$L_i=\prod_{j\neq i}\frac{X-x_j}{x_i-x_j} \qquad\text{avec}\qquad L_i(x_j)=\delta_{i,j}$$

Le polynôme interpolateur :

$$P=\sum_{i=0}^{n} y_i\,L_i \qquad \deg P\leqslant n,\quad P(x_i)=y_i$$

i · Décomposition en éléments simples

Forme de la décomposition sur $\C$, pour un dénominateur $\prod (X-a_k)^{m_k}$ :

$$F=E+\sum_{k}\sum_{j=1}^{m_k}\frac{\lambda_{k,j}}{(X-a_k)^{j}} \qquad E \text{ partie entière}$$

Coefficient de plus haut degré associé au pôle $a$ de multiplicité $m$ :

$$\lambda_{m}=\Big[(X-a)^{m}\,F\Big]_{X=a}$$

Dérivée logarithmique, pour $P$ scindé de racines $a_k$ de multiplicités $m_k$ :

$$\frac{P'}{P}=\sum_{k}\frac{m_k}{X-a_k}$$

Élément simple type sur $\R$ dont vous aurez besoin au chapitre 15 : $\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{x-a}=\ln|x-a|$ et $\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{(x-a)^{k}}=\frac{-1}{(k-1)(x-a)^{k-1}}$ pour $k\geqslant2$.