Nombres complexes

Le seul point neuf par rapport au lycée est l'extension des identités de calcul du chapitre 2. Elle est gratuite, parce que ces identités ne reposaient que sur les règles de calcul d'un corps commutatif — et $\C$ en est un. Retenez-en la logique : une identité algébrique reste vraie partout où les opérations obéissent aux mêmes règles. C'est exactement ce qu'on formalisera au chapitre 8 avec les anneaux.

Le mot « corps » est employé ici par anticipation ; il sera défini au chapitre 8. Dans le programme de MP2I, tous les corps sont commutatifs par convention.

Deux outils, deux usages complètement différents.

La conjugaison sert à caractériser. $z\in\R\iff \bar z=z$, et $z\in i\R\iff\bar z=-z$. Ces deux équivalences remplacent avantageusement le passage en parties réelle et imaginaire, qui alourdit les calculs.

Le module sert à mesurer. $|z-z'|$ est la distance entre les points d'affixes $z$ et $z'$ : une équation $|z-a|=r$ décrit un cercle, une inégalité $|z-a|\leqslant r$ un disque. C'est la traduction géométrique qu'il faut avoir en réflexe.

Le lien entre les deux est $|z|^2=z\bar z$, et c'est l'identité la plus utile du chapitre : elle transforme un module (qui contient une racine carrée, donc résiste au calcul) en un produit (qui se manipule). Toutes les démonstrations sur les modules passent par elle.

C'est le cœur du chapitre et le point le plus rentable de tout le premier semestre. L'idée tient en une phrase : toute question de trigonométrie devient une question de calcul algébrique une fois qu'on sait que $e^{it}=\cos t+i\sin t$.

Trois techniques, à travailler jusqu'à l'automatisme :

La linéarisation. Pour transformer $\cos^n t$ ou $\sin^n t$ en combinaison de $\cos(kt)$ : on écrit $\cos t=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}$, on développe par le binôme, on regroupe les termes conjugués. C'est ce qu'il faut faire chaque fois qu'on doit intégrer une puissance de sinus ou de cosinus — donc très souvent au chapitre 15 et en physique.

L'anti-linéarisation (Moivre). Le mouvement inverse : $\cos(nt)$ et $\sin(nt)$ s'expriment en fonction de $\cos t$ et $\sin t$ en développant $(\cos t+i\sin t)^n$ par le binôme et en séparant partie réelle et partie imaginaire.

L'angle moitié. La technique la plus caractéristique de la prépa, et celle qu'on repère immédiatement chez un étudiant qui a compris : pour factoriser une somme d'exponentielles, on met en facteur l'exponentielle de la demi-somme des arguments. Ce qui reste est alors de la forme $e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta$, donc réel.

L'argument n'est pas un nombre : c'est une classe de réels modulo $2\pi$. Écrire $\arg(zz')=\arg z+\arg z'$ n'a de sens que modulo $2\pi$, et il faut l'écrire : $\arg(zz')\equiv\arg z+\arg z'\ [2\pi]$. Le zéro n'a pas d'argument.

La transformation $a\cos t+b\sin t=A\cos(t-\varphi)$ est explicitement exigible et se retrouve en dix secondes : on factorise par $A=\sqrt{a^2+b^2}$, ce qui fait apparaître un couple $\left(\frac aA,\frac bA\right)$ de somme des carrés égale à 1, donc de la forme $(\cos\varphi,\sin\varphi)$. C'est le seul outil dont on ait besoin, et il est massivement utilisé en physique — régime forcé d'un oscillateur, superposition d'ondes de même pulsation.

Deux techniques concrètes, et une idée.

La technique 1 : racines carrées sous forme algébrique. Pour trouver $\omega$ tel que $\omega^2=z$ avec $z=a+ib$, on pose $\omega=x+iy$ et on écrit un système de trois équations : $x^2-y^2=a$ (partie réelle), $2xy=b$ (partie imaginaire), et $x^2+y^2=|z|$ (modules). La troisième est celle qu'on oublie, et c'est elle qui rend le système linéaire en $x^2,y^2$ ; le signe de $b$ donne alors le signe relatif de $x$ et $y$.

La technique 2 : le second degré dans $\C$. Même formule qu'au lycée, mais $\Delta$ n'a plus de signe : on cherche une racine carrée $\delta$ de $\Delta$ (par la technique 1 si nécessaire), et les racines sont $\frac{-b\pm\delta}{2a}$. Il y a toujours deux racines, éventuellement confondues.

L'idée : si $a$ est racine de $P$, alors $z-a$ divise $P$. Cette phrase, démontrée ici sur des exemples, sera le théorème central du chapitre 10 et le socle de la factorisation des polynômes.

Un objet qui reviendra sous quatre noms différents dans l'année : $\U_n$ est un groupe (chapitre 8), c'est l'ensemble des racines du polynôme $X^n-1$ (chapitre 10), et sa somme nulle sert à des calculs de dénombrement et de sommes trigonométriques.

La méthode générale pour résoudre $z^n=Z$ est toujours la même : mettre $Z$ sous forme trigonométrique $\rho e^{i\alpha}$, chercher $z=re^{i\theta}$, identifier les modules ($r=\rho^{1/n}$, racine $n$-ième réelle positive) et les arguments modulo $2\pi$ — c'est ce « modulo » qui produit les $n$ solutions distinctes, correspondant à $k=0,\dots,n-1$.

La définition est posée, pas construite : on décide que $e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}$, et on vérifie que ça se comporte bien. On lit alors directement : $|e^z|=e^{\mathrm{Re}(z)}$, et $\mathrm{Im}(z)$ est un argument.

Le fait marquant : l'exponentielle complexe n'est pas injective. Elle est $2i\pi$-périodique. Conséquence immédiate : il n'existe pas de « logarithme complexe » bien défini comme fonction, et l'équation $e^z=a$ (avec $a\neq0$) a une infinité de solutions, formant une famille $z_0+2ik\pi$. C'est la première fois de l'année qu'on rencontre une fonction usuelle non injective sur son domaine naturel — souvenez-vous-en au chapitre 6, quand il faudra restreindre pour construire des réciproques.

Notez aussi que $e^z$ ne s'annule jamais, puisque $|e^z|=e^{\mathrm{Re}(z)}>0$.

Un seul quotient à comprendre, et toute la géométrie plane du chapitre en découle. Si $A$, $B$, $C$ ont pour affixes $a$, $b$, $c$ avec $a\neq b$ et $a\neq c$ :

• $\left|\dfrac{c-a}{b-a}\right|=\dfrac{AC}{AB}$ — un rapport de longueurs ;
• $\arg\dfrac{c-a}{b-a}\equiv\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\big)\ [2\pi]$ — l'angle orienté en $A$.

D'où les deux traductions à connaître : $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si ce quotient est réel ; les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont orthogonales si et seulement si il est imaginaire pur.

Quant à $z\mapsto az+b$ avec $a\neq0$ : en écrivant $a=ke^{i\theta}$, on lit une homothétie de rapport $k$ composée d'une rotation d'angle $\theta$, puis d'une translation. Si $a\neq1$, cette application a un unique point fixe $\omega=\frac{b}{1-a}$, et elle s'écrit alors $z-\omega\mapsto a(z-\omega)$ : c'est la similitude directe de centre $\omega$, de rapport $|a|$ et d'angle $\arg a$.