Compléments de calcul algébrique et de trigonométrie
Le programme appelle cette section une « boîte à outils ». C'est exactement ça : quatre techniques sans théorie, qui doivent tourner toutes seules avant la Toussaint, parce que la physique en a besoin tout de suite.
Champ TransversalSemestre 1Points a · b · c · dEnjeu Automatismes
Ce que dit le programme sur cette section
Compléter le lycée sur quatre points précis
Calculs de sommes et de produits, dont la formule du binôme.
Résolution de petits systèmes linéaires par l'algorithme du pivot.
Manipulation d'inégalités et résolution d'inéquations.
Utilisation du cercle trigonométrique, manipulation des lignes et des fonctions trigonométriques.
Aucun de ces quatre points n'est difficile. Tous les quatre sont sanctionnés en permanence, parce que ce sont les gestes qu'on fait le plus souvent : une erreur de signe dans un changement d'indice, un pivot mal conduit, une inégalité multipliée par un nombre négatif sans changer le sens, et un problème entier est faux. Le programme insiste ailleurs sur le fait que la maîtrise rapide des techniques de calcul est un impératif.
a
Sommes et produits
Exigible
Contenus
Somme et produit d'une famille finie de réels.
Sommes et produits télescopiques ; changements d'indices, regroupements de termes.
Expressions simplifiées de $\sum_{k=1}^{n}k$, $\sum_{k=1}^{n}k^2$, $\sum_{k=0}^{n}x^k$.
Factorisation de $a^n-b^n$ par $a-b$.
Sommes doubles ; produit de deux sommes finies.
Rappels sur la factorielle et les coefficients binomiaux.
Formule du binôme dans $\R$.
Capacités & commentaires
Notations $\sum_{i\in I}a_i$, $\sum_{i=1}^{n}a_i$, $\prod_{i\in I}a_i$ ; cas où $I$ est vide.
Dans la pratique, on est libre de présenter les calculs avec des points de suspension.
Exemples de sommes triangulaires.
Convention $\binom{n}{k}=0$ pour $k<0$ et $k>n$.
En clair
Le vrai contenu de ce point tient en un mot : manipuler l'indice. Un $\sum$ n'est pas un objet mystérieux, c'est une notation ; tout ce qu'on vous demande, c'est de savoir la réindexer sans se tromper.
Le cas de la famille vide. Une somme vide vaut $0$, un produit vide vaut $1$. Ce n'est pas une convention arbitraire : c'est ce qui rend vraies les relations de Chasles ($\sum_{I\cup J}=\sum_I+\sum_J$ pour $I,J$ disjoints) sans cas particulier. Vous en aurez besoin dès que vous manipulerez des récurrences avec un rang initial.
Le télescopage. C'est la technique la plus rentable du point : si $a_k=b_{k+1}-b_k$, alors $\sum_{k=m}^{n}a_k=b_{n+1}-b_m$. Tout s'annule sauf les bords. Réflexe : quand vous voyez une somme dont le terme général ressemble à une différence, cherchez le télescopage avant tout le reste.
Les sommes doubles. Deux situations, et une seule vraie difficulté. Si le domaine est un rectangle, on échange librement l'ordre des sommations. Si le domaine est triangulaire ($1\leqslant i\leqslant j\leqslant n$), l'échange change les bornes : $\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{j}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n}$. Dessinez le domaine, toujours. C'est ce même geste qui reviendra au chapitre 19 sous le nom de théorème de Fubini.
À savoir de tête, sans exception
$$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\qquad
\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\qquad
\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}$$
La troisième n'est pas dans le texte, mais tombe suffisamment souvent pour valoir la peine.
Somme géométrique — le résultat le plus utilisé de toute l'année :
$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\qquad
\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\qquad
\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}\ \text{(Pascal)}$$
$$k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}\quad\text{(formule du capitaine — sert partout)}$$
Formule du binôme, pour $a$ et $b$ qui commutent :
Retenez la condition « qui commutent » : elle sera cruciale au chapitre 9 pour calculer les puissances d'une matrice en écrivant $A=\lambda I_n+N$ avec $N$ nilpotente.
Produit de deux sommes — jamais une somme de produits :
Le piège du changement d'indice
Quand vous posez $j=k+1$ dans $\sum_{k=0}^{n}$, les bornes deviennent $j=1$ à $n+1$. Une erreur sur une borne fait perdre un terme entier, et le calcul est faux jusqu'au bout sans qu'aucun signal ne l'indique. La parade : après tout changement d'indice, vérifiez sur $n=1$ ou $n=2$. Dix secondes, et ça élimine 90 % des erreurs.
Le piège de l'indice muet
Dans $\sum_{k=1}^{n}a_k$, l'indice $k$ est muet : il n'existe pas en dehors de la somme. Écrire quelque chose comme $\sum_{k=1}^{n}k\cdot a_k = k\sum_{k=1}^{n}a_k$ n'a aucun sens. De même, dans une somme double, ne réutilisez jamais le même nom d'indice pour les deux sommations.
Astuce : la somme géométrique dérivée
Pour calculer $\sum_{k=1}^{n}k\,x^{k}$, ne cherchez pas de formule à retenir : dérivez la somme géométrique par rapport à $x$. Ce réflexe — dériver ou intégrer une identité connue — resservira massivement au chapitre 19 pour les séries entières que vous verrez en seconde année.
Histoire
Le triangle qui n'appartient à personne
Pingala (Inde, ~200 av. J.-C.) · Al-Karaji (~1000) · Yang Hui (Chine, 1261) · Blaise Pascal (1654)
Le tableau des coefficients binomiaux apparaît en Inde, en Perse, en Chine et en Italie bien avant Pascal — les Chinois l'appellent d'ailleurs triangle de Yang Hui, les Italiens triangle de Tartaglia. Ce que Pascal apporte en 1654 dans son Traité du triangle arithmétique, ce n'est pas le tableau : c'est la méthode de démonstration. Il y formalise le raisonnement par récurrence, qu'il appelle « démonstration par les conséquences », pour établir rigoureusement les identités qui reliaient les cases entre elles.
La relation $\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$ que vous utiliserez cette année est exactement celle qu'il démontre. Le lien entre le chapitre 1 et le chapitre 2 n'est donc pas fortuit : le triangle est né avec la récurrence.
b
Résolution de petits systèmes linéaires par la méthode du pivot
ExigibleAlgorithme
Contenus
Système linéaire à coefficients réels de deux ou trois équations à deux ou trois inconnues.
Algorithme du pivot et mise en évidence des opérations élémentaires.
Capacités & commentaires
Interprétation géométrique : intersection de droites dans $\R^2$, de plans dans $\R^3$.
Vous savez déjà résoudre un système $2\times2$. Ce qu'on ajoute ici, c'est un algorithme — c'est-à-dire une procédure qu'on peut appliquer mécaniquement, sans réfléchir, et surtout sans se tromper — et une notation normalisée pour écrire les opérations.
Les trois opérations élémentaires sur les lignes sont les seules autorisées, et elles ont une propriété capitale : elles transforment un système en un système équivalent, c'est-à-dire ayant exactement le même ensemble de solutions. C'est ce qui légitime la méthode.
Notez la restriction $\lambda\neq 0$ dans $L_i\leftarrow\lambda L_i$. Multiplier une ligne par 0 la détruit et change l'ensemble des solutions : ce n'est pas une opération élémentaire.
L'interprétation géométrique est explicitement demandée. Trois plans dans $\R^3$ peuvent se couper en un point (système de Cramer), selon une droite (une infinité de solutions à un paramètre), selon un plan, ou pas du tout. Savoir associer à la forme échelonnée finale la configuration géométrique correspondante est ce qui distingue une compréhension d'un automatisme.
Ce point paraît anodin en octobre. Il est en réalité la graine de trois chapitres entiers : le calcul matriciel (chapitre 9), le rang et l'équivalence de matrices (chapitre 13), le calcul de déterminants par opérations élémentaires (chapitre 14). Le programme le dit lui-même : cette section « prépare l'algèbre linéaire du second semestre ».
Les trois opérations élémentaires — notations imposées
$$L_i\leftrightarrow L_j \qquad\text{échanger deux lignes}$$
$$L_i\leftarrow\lambda L_i\quad(\lambda\neq 0) \qquad\text{multiplier une ligne par un scalaire non nul}$$
$$L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j\quad(i\neq j) \qquad\text{ajouter à une ligne un multiple d'une autre}$$
Écrivez systématiquement l'opération effectuée à droite de la ligne modifiée. Un correcteur qui ne peut pas suivre vos manipulations ne peut pas vous accorder les points de méthode — et il y en a beaucoup dans un pivot.
La forme échelonnée finale lit la géométrie. Une ligne « $0=c$ » avec $c\neq0$ signale un système incompatible ; une ligne entièrement nulle signale une inconnue libre, donc un paramètre.
Astuce
Choisissez toujours comme pivot un coefficient égal à $1$ ou $-1$ s'il y en a un, quitte à échanger deux lignes ou à réordonner les inconnues. Vous éviterez les fractions, et donc les trois quarts des erreurs de calcul. En calcul numérique sur machine, le critère est différent — on choisit le plus grand pivot en valeur absolue, pour la stabilité — mais ça, c'est l'affaire de votre cours d'informatique.
Piège
Ne divisez jamais par un coefficient sans avoir vérifié qu'il est non nul. Si le système contient un paramètre $m$, le pivot $m-1$ impose une disjonction de cas : $m=1$ et $m\neq1$. C'est exactement le genre de question qui distingue les copies, et c'est aussi votre premier vrai emploi du raisonnement par disjonction de cas du chapitre 1.
Histoire
Un algorithme vieux de deux mille ans, baptisé au XIXe siècle
Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique (Chine, ~200 av. J.-C. – 100 apr. J.-C.) · Carl Friedrich Gauss (1777–1855)
Le huitième chapitre des Neuf Chapitres, intitulé « Fang cheng » (dispositions rectangulaires), expose la résolution de systèmes linéaires par élimination successive sur des tableaux de bâtons de calcul — c'est-à-dire exactement votre pivot, matrice augmentée comprise, dix-huit siècles avant Gauss.
Gauss redécouvre et systématise la méthode vers 1810, dans un contexte inattendu : le calcul de l'orbite de l'astéroïde Pallas par la méthode des moindres carrés, qui produit de grands systèmes linéaires à résoudre à la main. Le nom « élimination de Gauss » se fixe bien plus tard, quand les premiers ordinateurs en font l'algorithme le plus exécuté au monde.
c
Inégalités
Exigible
Contenus
Relation d'ordre sur $\R$, compatibilité avec les opérations.
Intervalles de $\R$.
Majoration et minoration de sommes, produits, quotients ; factorisations, tableaux de signes ; résolution d'inéquations.
Interprétation sur la droite réelle des inégalités du type $|x-a|\leqslant b$.
Notation $\lfloor x\rfloor$ pour la partie entière.
En clair
Ce point est le plus sous-estimé du chapitre, et de loin le plus déterminant pour la suite. Toute l'analyse de l'année est une suite de majorations. La définition de la limite, la convergence d'une suite, l'inégalité des accroissements finis, les sommes de Riemann, la convergence des séries : à chaque fois, il s'agit de majorer une quantité par quelque chose qu'on sait rendre petit.
Un étudiant qui n'a pas d'aisance avec les inégalités bloque en analyse toute l'année, sans comprendre pourquoi. Les règles à intégrer sont peu nombreuses mais doivent être réflexes :
on peut additionner deux inégalités de même sens, jamais les soustraire ;
on peut multiplier par un réel positif ; multiplier par un négatif renverse le sens ;
on ne peut multiplier deux inégalités entre elles que si tous les termes sont positifs ;
passer à l'inverse renverse le sens, à condition que les deux membres soient de même signe.
Maximum contre borne supérieure. Un majorant est n'importe quel nombre au-dessus de la partie ; le maximum est un majorant qui appartient à la partie. $]0,1[$ est majorée, n'a pas de maximum. Cette distinction, apparemment scolastique, est précisément ce qui rendra la propriété de la borne supérieure du chapitre 5 non triviale.
À savoir de tête
Inégalité triangulaire, et sa version inverse — les deux servent autant :
Le piège numéro un de l'année
Élever une inégalité au carré n'est licite que si les deux membres sont positifs. $-3\leqslant 2$ mais $9\not\leqslant4$. Ça paraît évident écrit comme ça ; ça ne l'est plus du tout quand le membre de gauche est une expression dont vous n'avez pas vérifié le signe.
Astuce : majorer, c'est jeter ce qui gêne
Une majoration est presque toujours brutale. Pour majorer $\left|\frac{\sin n}{n^2+1}\right|$, on ne cherche pas la meilleure constante : on écrit $|\sin n|\leqslant1$ et $n^2+1\geqslant n^2$, ce qui donne $\frac{1}{n^2}$, et c'est fini. Le débutant essaie d'être précis ; l'étudiant efficace majore vite et grossièrement, puis vérifie que c'est suffisant.
d
Trigonométrie
ExigibleUne formule justifiée géométriquement
Contenus
Cercle trigonométrique, paramétrisation par cosinus et sinus.
Relation de congruence modulo $2\pi$ sur $\R$.
Cosinus et sinus de $\pi\pm x$, de $\frac{\pi}{2}\pm x$ ; angles usuels.
Savoir retrouver $\cos t$ et $\sin t$ en fonction de $\tan(t/2)$.
En clair
Le mot-clé du texte officiel, ici, est « retrouver ». Le programme ne demande pas d'apprendre par cœur une table de quarante formules : il demande de savoir les reconstruire à partir du cercle et de deux ou trois relations souches. C'est une bonne nouvelle, et c'est aussi une exigence — en colle, on vous demandera de justifier, pas de réciter.
Le cercle est l'outil, pas l'illustration. Pour résoudre $\cos x=\frac{1}{2}$ sur $\R$, on place $\frac12$ sur l'axe des abscisses, on lit les deux points d'intersection, on écrit $x\equiv\frac{\pi}{3}\ [2\pi]$ ou $x\equiv-\frac{\pi}{3}\ [2\pi]$. Une inéquation se lit de la même façon, en repérant l'arc concerné. Faites systématiquement le dessin : il coûte quinze secondes et supprime les oublis de solutions.
Ce chapitre est un investissement pour le chapitre 3. Toutes ces formules seront redémontrées en trois lignes avec l'exponentielle complexe : $e^{i(a+b)}=e^{ia}e^{ib}$ contient à elle seule les formules d'addition. Beaucoup d'étudiants s'épuisent à mémoriser en septembre ce qu'ils comprendront en octobre. Retenez les angles usuels et les relations souches ; laissez les complexes faire le reste.
Le cercle trigonométrique : l'abscisse est le cosinus, l'ordonnée le sinus. Les symétries du cercle (par rapport aux deux axes et à la première bissectrice) donnent toutes les formules de $\pi\pm x$ et $\frac{\pi}{2}\pm x$ sans rien apprendre.
Les relations souches — tout le reste s'en déduit
$$\cos^2 x+\sin^2 x=1\qquad\qquad 1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}\quad\left(x\not\equiv\tfrac{\pi}{2}\ [\pi]\right)$$
Les deux dernières formes, lues à l'envers, donnent les formules de linéarisation $\cos^2a=\frac{1+\cos2a}{2}$ et $\sin^2a=\frac{1-\cos2a}{2}$, indispensables pour intégrer.
Produits en sommes — à savoir retrouver, en additionnant ou soustrayant deux formules d'addition :
Inégalité de comparaison, à connaître et à savoir justifier sur le cercle :
$$\forall x\in\R,\quad |\sin x|\leqslant |x|$$
Astuce : ne mémorisez que les formules d'addition
Duplication, linéarisation, produits en sommes, tangente de l'angle moitié : tout se retrouve à partir de $\cos(a\pm b)$ et $\sin(a\pm b)$ en moins d'une minute. Et à partir du chapitre 3, ces deux-là se retrouvent elles-mêmes à partir de $e^{i(a+b)}=e^{ia}e^{ib}$. Vous avez donc, au fond, une formule à connaître.
Piège de résolution
$\cos x=\cos a$ équivaut à $x\equiv a\ [2\pi]$ ou $x\equiv -a\ [2\pi]$ — deux familles. $\sin x=\sin a$ équivaut à $x\equiv a\ [2\pi]$ ou $x\equiv \pi-a\ [2\pi]$ — deux familles également, mais pas les mêmes. $\tan x=\tan a$ équivaut à $x\equiv a\ [\pi]$ — une seule famille, modulo $\pi$ et non $2\pi$. Oublier une famille est l'erreur la plus fréquente en devoir.
Piège de domaine
$\tan$ n'est pas définie en $\frac{\pi}{2}+k\pi$. Chaque fois que vous utilisez la formule de $\tan(a+b)$, ou le paramétrage par $\tan\frac{x}{2}$, il faut exclure les valeurs interdites — et l'écrire. Le paramétrage par $t=\tan\frac x2$, en particulier, exclut $x\equiv\pi\ [2\pi]$, qu'il faut traiter à part.
Histoire
De la table des cordes d'Hipparque au $\sin$ d'Euler
Hipparque de Nicée (~190–120 av. J.-C.) · Aryabhata (476–550) · Leonhard Euler (1707–1783)
La trigonométrie naît de l'astronomie. Hipparque construit vers 150 av. J.-C. la première table de cordes, pour prédire les positions des astres ; Ptolémée la reprend dans l'Almageste, et sa « formule de Ptolémée » sur le quadrilatère inscriptible contient déjà les formules d'addition. Le sinus tel que vous l'utilisez — la demi-corde plutôt que la corde — vient des mathématiciens indiens, notamment Aryabhata au VIe siècle ; le mot « sinus » est une mauvaise traduction latine, via l'arabe, du sanskrit jyā, la corde d'arc.
C'est Euler qui, au XVIIIe siècle, transforme ces rapports géométriques en fonctions d'une variable réelle, et qui les relie à l'exponentielle par $e^{ix}=\cos x+i\sin x$. Ce basculement est exactement celui que vous allez vivre entre ce chapitre et le suivant.
Les limitesCe qui n'est pas demandé ici
Notion
Statut
Commentaire
Formule du binôme dans $\C$ ou dans un anneau
Plus tard
Ici, la formule est énoncée dans $\R$. Elle sera « brièvement étendue » à $\C$ au chapitre 3, puis énoncée dans un anneau pour deux éléments qui commutent au chapitre 8.
Systèmes de taille quelconque
Plus tard
Ici : deux ou trois équations, deux ou trois inconnues. Le cas général vient au chapitre 9, où le programme précise que « toute technicité est exclue ».
Fonctions circulaires réciproques
Chapitre 4
Arcsin, Arccos, Arctan ne sont pas encore là.
Fonctions hyperboliques réciproques
Hors programme
Argsh, Argch, Argth ne sont au programme d'aucune façon. La seule formule exigible sur les hyperboliques sera $\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x=1$.
Formule du crible
Hors programme
Signalée au chapitre 16, mais autant le savoir tout de suite : on ne fait pas d'inclusion-exclusion au-delà de deux ensembles.
C'est le premier chapitre où un logiciel apporte quelque chose. Deux usages, à ne pas confondre : vérifier un calcul déjà fait, et explorer pour formuler une conjecture. Aucun des deux ne consiste à faire faire le travail par la machine.
Calcul formelXcas / Giac — libre et gratuit (GPL3), Windows, macOS, Linux, et une version qui tourne directement dans le navigateur sans installation. simplify, tlin (linéariser), texpand (développer une expression trigonométrique), rref (pivot). Développé à Grenoble par Bernard Parisse ; c'est aussi le moteur de calcul de GeoGebra et des calculatrices HP Prime.
GéométrieGeoGebra — gratuit, en ligne ou installé, avec un module 3D. Le meilleur outil pour se construire des intuitions : cercle trigonométrique animé, intersections de plans.
GraphesDesmos — gratuit, instantané, parfait pour comparer deux courbes et deviner une inégalité avant de la démontrer.
ProgrammerPython — écrivez une fonction qui calcule $\sum_{k=1}^{n}k^2$ par une boucle et comparez à la formule pour $n=1,\dots,20$. Une conjecture vérifiée sur vingt cas ne prouve rien, mais elle vous évite de chercher à démontrer une formule fausse.