Structures algébriques usuelles

Une loi de composition interne sur $E$ est simplement une application de $E\times E$ dans $E$. Le mot « interne » est l'essentiel : le résultat doit rester dans $E$. C'est ce qui échoue quand on veut faire de la soustraction dans $\N$, ou de la division dans $\Z$.

L'unicité du neutre se démontre en deux lignes et il faut savoir le faire : si $e$ et $e'$ sont deux neutres, alors $e=e\ast e'=e'$. La même astuce donne l'unicité de l'inverse, mais elle exige l'associativité — sans elle, un élément peut avoir plusieurs inverses.

Le vocabulaire de la stabilité est ce qui prépare la notion de sous-structure. Une partie $F$ de $E$ est stable si $x,y\in F$ entraîne $x\ast y\in F$. La stabilité seule ne suffit pas à faire un sous-groupe : $\N$ est stable dans $\Z$ pour l'addition, sans en être un sous-groupe, faute d'opposés.

La caractérisation des sous-groupes est le geste central du chapitre. Pour montrer que $H$ est un sous-groupe de $G$, on ne revérifie jamais l'associativité — elle est héritée. Trois points suffisent, et il faut les écrire dans cet ordre :

1. $H\subset G$ ;
2. $e\in H$ — ce qui donne au passage que $H$ est non vide, et c'est plus facile à vérifier que la non-vacuité ;
3. $\forall (x,y)\in H^{2},\ x\ast y^{-1}\in H$ — la forme condensée, qui regroupe stabilité et passage à l'inverse.

Cette rédaction en trois lignes est attendue telle quelle. Faites-la une fois proprement, elle vous servira toute l'année — et pour les sous-espaces vectoriels du chapitre 12, qui en sont la version linéaire.

Un morphisme est une application qui respecte la loi. C'est la traduction algébrique de « ces deux structures fonctionnent pareil ». Les exemples que vous connaissez déjà : $\exp:(\R,+)\to(\R_+^{*},\times)$, qui transforme les sommes en produits ; $\ln$, qui fait l'inverse ; $\theta\mapsto e^{i\theta}$ de $(\R,+)$ dans $\U$ ; le déterminant du chapitre 14 ; la signature d'une permutation.

Le noyau mesure le défaut d'injectivité. C'est le résultat à retenir du point : un morphisme est injectif si et seulement si son noyau est réduit au neutre. La démonstration est courte, elle repose sur $f(x)=f(y)\iff f(x\ast y^{-1})=e$. Elle se réutilisera telle quelle pour les applications linéaires, où elle deviendra « $f$ injective si et seulement si $\ker f=\{0\}$ ».

Un anneau, c'est deux lois qui cohabitent : une addition qui fait un groupe abélien, une multiplication associative avec neutre, et la distributivité qui les relie. La multiplication n'est pas supposée commutative — $\mathcal{M}_n(\K)$ en est l'exemple central, et c'est pour cela que le programme prend soin de dire « pour deux éléments qui commutent » dans la formule du binôme.

La condition « qui commutent » n'est pas décorative. Dans $\mathcal{M}_2(\R)$, $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$, et cela ne vaut $A^2+2AB+B^2$ que si $AB=BA$. Vous utiliserez massivement cette précision au chapitre 9 pour calculer $A^n$ en écrivant $A=\lambda I_n+N$ avec $N$ nilpotente — décomposition qui marche justement parce que $\lambda I_n$ commute avec tout.

Intègre signifie : un produit nul entraîne qu'un facteur est nul. C'est vrai dans $\Z$, $\Q$, $\R$, $\C$, $\K[X]$ ; c'est faux dans $\mathcal{M}_n(\K)$ dès que $n\geqslant2$, et faux dans les anneaux de fonctions. Perdre l'intégrité, c'est perdre le droit de raisonner par « produit nul donc un facteur nul » — un réflexe si ancré qu'on l'applique sans y penser.

Un corps est un anneau où tout élément non nul est inversible. $\Z$ n'est pas un corps : seuls $1$ et $-1$ y sont inversibles. C'est exactement pour cela que l'arithmétique du chapitre 7 était intéressante — dans un corps, il n'y a rien à dire sur la divisibilité.

Le groupe des inversibles $A^{\times}$ est la passerelle entre les deux points : c'est un groupe pour la multiplication. $\Z^{\times}=\{-1,1\}$, $\mathcal{M}_n(\K)^{\times}=\mathrm{GL}_n(\K)$, et pour un corps, $\K^{\times}=\K\setminus\{0\}$.